[論文レビュー] Nielsen coincidence theory in arbitrary codimensions

Ulrich Koschorke|ArXiv.org|Aug 3, 2004

Advanced Differential Geometry Research参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、経路空間 $E(f_1,f_2)$ における正規 bordism を用いて、一般の余次元へとニールセンの重複点理論を拡張する。新しい不変量 $N(f_1,f_2)$ を導入し、$MCC(f_1,f_2) = N(f_1,f_2)$ が以下の3つの主要な場合に成り立つことを証明した。$m < 2n - 2$ のとき、$N$ が円周 $S^1$ のとき、および $M$ と $N$ が球面であり、James-Hopf の単射性条件を満たすときである。これにより、$N(f_1,f_2)$ がホモトピー下での重複点成分の最小数に対する鋭い下界であることが確立された。

ABSTRACT

Given two maps f_1, f_2 : M^m \longrightarrow N^n between manifolds of the indicated arbitrary dimensions, when can they be deformed away from one another? More generally: what is the minimum number MCC (f_1, f_2) of pathcomponents of the coincidence space of maps f'_1, f'_2 where f'_i is homotopic to f_i, i = 1, 2? Approaching this question via normal bordism theory we define a lower bound N (f_1, f_2) which generalizes the Nielsen number studied in classical fixed point and coincidence theory (where m = n). In at least three settings N (f_1, f_2) turns out to coincide with MCC (f_1, f_2): (i) when m &lt; 2n - 2; (ii) when N is the unit circle; and (iii) when M and N are spheres and a certain injectivity condition involving James-Hopf invariants is satisfied. We also exhibit situations where N (f_1, f_2) vanishes, but MCC (f_1, f_2) is strictly positive.

研究の動機と目的

• 古典的な等次元の場合（$m = n$）を超えて、任意の余次元（$m \neq n$）へとニールセンの固定点および重複点理論を一般化すること。
• ホモトピー下での重複点成分の最小数 $MCC(f_1,f_2)$ の下界として、新しいニールセン型不変量 $N(f_1,f_2)$ を定義すること。
• $N(f_1,f_2)$ が $MCC(f_1,f_2)$ に等しくなる条件を特定し、これにより写像を緩和するための完全な障害であることを同定すること。
• 重複点クラスをパラメトライズする $E(f_1,f_2)$ の経路成分が、正規 bordism 同値類 $\widetilde{\omega}(f_1,f_2)$ に与える寄与を分析すること。
• 例を構成することで、$N(f_1,f_2)$ が緩和性を検出できない場合、すなわち $N(f_1,f_2) = 0$ だが $MCC(f_1,f_2) > 0$ となる場合があることを示すこと。

提案手法

• 各 $x \in M$ と、$f_1(x)$ から $f_2(x)$ への $N$ 内の経路 $\theta$ のペア $(x, \theta)$ からなる空間 $E(f_1,f_2)$ を構成し、これにより Reidemeister クラスを符号化する。
• Hatcher-Quinn 理論を用いて、$\widetilde{\varphi} = \text{pr}^*(f_1^*TN - TM)$ を用いて、正規 bordism 同値類 $\widetilde{\omega}(f_1,f_2) \in \Omega_{m-n}(E(f_1,f_2); \widetilde{\varphi})$ を定義する。
• $\widetilde{\omega}(f_1,f_2)$ を $\pi_0(E(f_1,f_2))$ の成分 $A$ でインデックスする成分に分解し、そのうち bordism で非自明な（本質的でない）成分の数として $N(f_1,f_2)$ を定義する。
• 経路空間 $E(f_1,f_2)$ を用いた一般化されたホイットニーの技を用いて、$N(f_1,f_2) = 0$ のとき、重複点を消去するホモトピー $f_i \sim f_i'$ を構成する。
• フレームド bordism と安定ホモトピー論を用いて、$\Gamma_k$ 写像とその自己交差不変量における符号変化や反転に対する挙動を分析する。
• Toda の表と EHP 列を用いて、特定の安定ホモトピー群における $\Gamma_k$ 同型写像の単射性および非単射性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 何時、ニールセンの重複点数 $N(f_1,f_2)$ が最小重複点成分数 $MCC(f_1,f_2)$ に等しくなるか？
• RQ2 どのような余次元条件下で $N(f_1,f_2)$ が二つの写像の緩和に対する完全な障害となるか？
• RQ3 $N(f_1,f_2)$ が 0 であっても $MCC(f_1,f_2) > 0$ となる例が存在するか。これはニールセン数が一般の余次元において非緩和性を検出できないことを示唆するか？
• RQ4 重複点クラスに対応する $E(f_1,f_2)$ の経路成分が、正規 bordism 同値類 $\widetilde{\omega}(f_1,f_2)$ の構造にどのように寄与するか？
• RQ5 $\Gamma_k$ 同型写像の安定ホモトピー群における挙動は何か。また、いつ単射または非単射となるか？

主な発見

• $m < 2n - 2$ のとき、ニールセン数 $N(f_1,f_2)$ は $MCC(f_1,f_2)$ に等しくなる。よって、$N(f_1,f_2) = 0$ であることは、ペア $(f_1,f_2)$ が緩和可能であることと同値である。
• $N$ が単位円周 $S^1$ のとき、$N(f_1,f_2) = MCC(f_1,f_2)$ が成り立つ。これは古典的ニールセン理論を余次元 1 へ拡張する。
• 球面 $M = S^m$, $N = S^n$ の場合、ある特定の James-Hopf の単射性条件を満たすならば、$N(f_1,f_2) = MCC(f_1,f_2)$ が成り立つ。
• $N(f_1,f_2) = 0$ だが $MCC(f_1,f_2) > 0$ となる例が存在する。これは、一般の余次元においてニールセン数が常に完全な障害とはならないことを示している。
• $\Gamma_k: \pi_{m}(S^n) \to \pi^S_{m-1-k(n-1)}$ は、$n \geq 2$ のとき $\pi_{n+1}(S^n)$ で単射であり、また $\pi_{n+2}(S^n)$ および $\pi_5(S^2)$ に対しても単射である。Pontryagin-Thom の構成と Toda の表を用いて明示的に検証された。
• $\Gamma: \pi_{24}(S^6) \to \pi^S_{23}$ については、$\Gamma_4$ に対して $2\Gamma_4 \equiv 0$ であり、定義域 $\mathbb{Z}_{24} \oplus \mathbb{Z}_6 \oplus \mathbb{Z}_2$ の位数が、対象の関連する torsion 部分よりも大きいことから、この写像は単射でない。