[論文レビュー] Nijenhuis tensors and obstructions for pseudoholomorphic mapping constructions

Boris Kruglikov|ArXiv.org|Nov 14, 1996

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 11被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、コーシー・リーマン方程式の高次拡張を用いて、ほぼ複素多様体間の局所的または形式的擬正則写像を構成するための枠組みを確立する。一般化されたニエンヒュイズテンソルを導入し、2次テンソルを含む。可解性基準を証明し、ニューランダー＝ニレングラの定理の形式的部品と、ほぼ複素構造の形式的正規形を導出する。

ABSTRACT

In this paper we present some approaches to classification of almost complex structures and to construction of local or formal pseudoholomorphic mapping from one almost complex manifold to another. The corresponding criteria are given in terms of Nijenhuis tensors and their generalizations. We deal with the prolongations of the Cauchy-Riemann equation in 1-jets of the mapping from one almost complex manifold to another. We give a criterion of the prolongation existence of k-th pseudoholomorphic jets to the (k+1)-th ones. As a consequence basing on the Kuranishi's approach we obtain formal normal forms of almost complex structures. As another consequence we get the formal part of Newlander-Nirenberg's theorem on integrability. We also introduce the notion and study the properties of the linear Nijenhuis tensor, which we apply to almost complex structures of general position. Two applications are exhibited: a classification of four-dimensional almost complex structures in terms of distributions and a characterization of the new class of structures which we call Lie almost complex structures.

研究の動機と目的

• ほぼ複素多様体間の局所的または形式的擬正則写像の存在に関する基準の開発。
• 一般化されたニエンヒュイズテンソルおよびその性質を用いたほぼ複素構造の分類。
• 高次コーシー・リーマン方程式の可解性を用いた、ほぼ複素構造の形式的正規形の提供。
• 拡張技術を用いて、ニューランダー＝ニレングラの定理の形式的部品の確立。
• 線形ニエンヒュイズテンソルの導入とその一般位置構造の分類における役割の研究。

提案手法

• 1-jetレベルにおけるコーシー・リーマン方程式の最初の拡張を分析し、条件 $ j_M imes ext{d}u = ext{d}u imes j_L $ を導入する。
• 1次ニエンヒュイズテンソルを障害として導入し、$ N^{(2)}_j $ を含む高次テンソルに一般化する。
• クルンシのアプローチを適用し、高次ジャエット空間上でのコーシー・リーマン方程式の可解性から、ほぼ複素構造の形式的正規形を導出する。
• 線形ニエンヒュイズテンソルの空間を定義し、テンソルデータからの回復を調査する。
• ニエンヒュイズテンソルの一般位置の概念を用いて、擬正則写像の存在に関する必要十分条件を導出する。
• ジャエット空間の完備化技術を用い、ニエンヒュイズ型条件を含む逐次的拡張を通じて、コーシー・リーマン系の形式的統合を実行する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2-jetレベルで、2つのほぼ複素多様体間の擬正則写像の存在を保証する条件は何か？
• RQ2 コーシー・リーマン方程式はどのように高次ジャエットレベルに形式的に拡張可能であり、どのような障害が生じるか？
• RQ3 ニエンヒュイズテンソルおよびその高次一般化は、擬正則写像の可積分性において果たす役割は何か？
• RQ4 ジャエット空間上でのコーシー・リーマン方程式の可解性基準から、ほぼ複素構造の形式的正規形を導出可能か？
• RQ5 一般位置にあるほぼ複素構造はどのように特徴づけられ、擬正則写像の存在とどのように関係するか？

主な発見

• 1-jet擬正則写像を2-jet写像に拡張するための最初の障害は、可換条件 $ N_{j_M} imes igwedge^2 ext{d}u = ext{d}u imes N_{j_L} $ である。
• 2次ニエンヒュイズテンソル $ N^{(2)}_j $ は、コーシー・リーマン方程式の形式的完備化における次の項を提供する。
• 高次ジャエット空間上でのコーシー・リーマン方程式の可解性基準が確立され、ニューランダー＝ニレングラの定理の形式的部品が得られる。
• 可解性基準から、ほぼ複素構造の形式的正規形が導出され、分類のためのツールが提供される。
• 一般位置にあるほぼ複素構造は、ニエンヒュイズテンソルが一般位置にあり、$ N( heta, ho) = 0 $ ならば $ heta $ と $ ho $ が $ bC $-線形従属であるという特徴で特徴づけられる。
• ベクトル2形式の開かつ稠密な集合 $ bV i A $ が存在し、$ A( heta, ho) = 0 $ ならば $ ho = u heta $ が成り立つ。これによりテンソルが一般位置にあることが保証される。