[論文レビュー] Nikol'skii-type inequalities for rearrangement invariant spaces

E. Ostrovsky, L. Sirota|ArXiv.org|Apr 15, 2008

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 19被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、特にモーメント再配列不変（m.r.i.）空間およびローレンツ型空間に注目して、再配列不変（r.i.）空間における鋭いニコルスキー型不等式を確立する。著者は、強いおよび弱いニコルスキー対を特徴付けるために、ニコルスキー関数 $ W_n(X,Y,K_1,K_2) $ を導入し、多くの古典的r.i.空間—例えばオルリッチ空間、ローレンツ空間、マルチンキエヴィチ空間—が正確な条件下で強いまたは弱いニコルスキー対であることを示している。鋭い評価は、分布関数の推定と基本関数の解析を通じて得られている。

ABSTRACT

In this paper we generalize the classical Nikol'skii inequality on the many popular classes pairs of rearrangement invariant (r.i.) spaces and construct some examples in order to show the exactness of our estimations.

研究の動機と目的

• 再配列不変（r.i.）空間の間で強いおよび弱いニコルスキー対を特徴付けること。
• 古典的ニコルスキー不等式を $ L^p $ 空間を超えて、オルリッチ空間、ローレンツ空間、マルチンキエヴィチ空間など広いr.i.クラスへ一般化すること。
• 特に基本関数および漸近的に変化する関数を用いて、ニコルスキー関数 $ W_n(X,Y,K_1,K_2) $ の鋭い推定を確立すること。
• 明示的な反例および下界の構成を通じて、これらの推定の正確性を示すこと。

提案手法

• r.i.空間の基本関数 $ \phi $ を用いて、非ゼロ多項式 $ t_n \in A(n) $ における比 $ \frac{\|t_n\|_X / \phi(X,K_1/\sigma)}{\|t_n\|_Y / \phi(Y,K_2/\sigma)} $ の上界として、ニコルスキー関数 $ W_n(X,Y,K_1,K_2) $ を定義する。
• 関数の $ p \in (a,b) $ における $ L^p $-ノルムを用いて定義されるノルムを通じて、モーメント再配列不変（m.r.i.）空間を導入し、補間および埋め込み性の解析を可能にする。
• フェージェール核 $ D_n(x) $ の分布関数推定を用い、$ m\{x: D_n(x) > \lambda\} \asymp n^{-1} G(\lambda) $ を示す。ここで $ G(\lambda) \asymp \delta^{-1/2} $ は $ \lambda $ が小さいときの漸近的性質である。
• ローレンツ空間における鋭さを特徴付けるために、条件 $ \phi \in Q $ を定義する。ここで $ \phi \in Q $ とは、$ \int_0^{1/4} \phi(\epsilon G(\lambda)) \, d\lambda \leq \phi(C\epsilon) $ を満たすことを意味する。
• $ \phi \in Q $ の下で、$ \|D_n\|_{\Lambda(\phi)} \asymp \phi(C/n) $ の性質を用いて、$ \underline{\lim}_{n\to\infty} W_n(X,Y,K_1,K_2) > 0 $ の鋭い下界を証明する。
• 正則なr.i.空間—例えば $ G(\psi) $、ジグムンド空間、ローレンツ空間—は $ \|D_n\|_X \asymp \phi(X,C/n) $ を満たし、これにより漸近的解析が正確に可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 r.i.空間 $ X $ および $ Y $ に対して、ニコルスキー関数 $ W_n(X,Y,K_1,K_2) $ がすべての $ n $ に対して一様に有界であるための条件は何か？
• RQ2 r.i.空間の対が強いまたは弱いニコルスキー対であるとはどのような状況か？ また、得られる不等式の鋭さを特徴付ける要因は何か？
• RQ3 ローレンツ空間およびm.r.i.空間におけるニコルスキー型不等式の鋭さは、基本関数 $ \phi(X,\delta) $ とフェージェール核 $ D_n(x) $ の分布的性質によってどのように決定されるか？
• RQ4 $ \phi \in Q $ 条件が $ W_n $ の下限の正の性質を保証する役割を果たす理由は何か？ また、これと鋭さの関係は何か？
• RQ5 ローレンツ空間に対して逆ニコルスキー不等式を正確に特徴づけることは可能か？ そして、これはr.i.空間の正則性にどのような含意を持つのか？

主な発見

• 対 $ (X,Y) $ が強いニコルスキー対であるための必要十分条件は $ \sup_n W_n(X,Y) < \infty $ であり、これはオルリッチ空間、ローレンツ空間、マルチンキエヴィチ空間など多くの古典的r.i.空間で成立する。
• $ \phi \in Q $ の下で、$ \underline{\lim}_{n\to\infty} W_n(\Lambda(\phi_1), \Lambda(\phi_2), K_1, K_2) = K_3 > 0 $ が成り立ち、ローレンツ空間における推定の鋭さが証明される。
• $ \phi \in Q $ の下で、$ \|D_n\|_{\Lambda(\phi)} \asymp \phi(C/n) $ が成り立ち、これがニコルスキー関数の鋭い下界を導くために用いられる。
• $ X $ が正則なr.i.空間であるとき、$ \phi \in Q $ は、$ \underline{\lim}_{n\to\infty} W_n(\Lambda(\phi), X, K_1, K_2) > 0 $ の下界を保証するための必要十分条件である。
• 正則なr.i.空間（例：$ G(\psi) $、ジグムンド、ローレンツ）では $ \|D_n\|_X \asymp \phi(X,C/n) $ が成り立ち、これによりニコルスキー関数が漸近的に消えることがないことが保証される。
• 本稿では、定理4における推定が鋭いことを証明する。具体的には、$ Z = \sigma^{1/s - 1/r} \left[ \frac{r}{r - q} \right]^{\gamma/r} \left[ \frac{s}{p - s} \right]^{-\beta/s} $ の式を $ s, r $ に関して最小化することで、導出された評価の最適性を示している。