[論文レビュー] Nilpotent invariance of semi-topological K-theory of dg-algebras and the lattice conjecture

Konovalov Andrey|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2021

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、A. Blancの半トポロジカルK理論が連結な$$\mathbb{C}$-dg代数に対して導来的ネーター的不変性を満たすことを確立し、周期的循環ホモロジーに有理構造をもたらす。主な結果は、『ラティス予想』——半トポロジカルK理論から周期的循環ホモロジーへのトポロジカルなチェーン特徴は同値である——を、特に、固有またはネーター的拡大を施した有限型$$\mathbb{C}$-代数上の完全複体や、ボルゲラとファーロン＝ジョーンズ予想を満たす基本群をもつ空間上の局所系を含む、いくつかのdgカテゴリに対して確認する。

ABSTRACT

We show existence of a natural rational structure on periodic cyclic homology, conjectured by L. Katzarkov, M. Kontsevich, T. Pantev, for several classes of dg-categories, including proper connective $\mathbb{C}$-dg-algebras and dg-categories of local systems. The main ingredient is derived nilpotent invariance of A. Blanc's semi-topological K-theory, which we establish along the way.

研究の動機と目的

• 非可換スキームに対して$$\mathbb{C}$を係数とする周期的循環ホモロジーに有理構造をもたらすことを、カツァルコフ、コンツェビッチ、パンテフが予想したとおりに確立すること。
• 半トポロジカルK理論から周期的循環ホモロジーへのトポロジカルなチェーン特徴が同値であることを、さまざまなdgカテゴリのクラスに対して証明すること。
• 群代数から超える範囲にまでラティス予想を拡張し、基本群が特定の予想的性質を満たすトポロジカル空間上の局所系を含むこと。
• トポロジカルK理論と導来的ネーター的不変性を用いた、周期的循環ホモロジーの新しい計算フレームワークを提供すること。
• 基本群が特定の性質を満たす空間を用いた幾何的構成により、ファーロン＝ジョーンズ予想の反例を構成する可能性を示唆すること。

提案手法

• 解析的化の一般化であるトポロジカル実現関手を用いて定義される、A. Blancの半トポロジカルK理論を整数的構造の候補として用いる。
• 導来的ネーター的不変性の証明：連結な$$\mathbb{C}$-dg代数のネーター的拡大$v:B\rightarrow A$に対して、誘導される写像${\mathrm{K}}^{\mathrm{st}}(B)\rightarrow{\mathrm{K}}^{\mathrm{st}}(A)$が同値であることを示す。
• 同じトポロジカル実現形式を用いてホッホシュャイルドおよび循環ホモロジーの不変量を実現し、それらの実現が消えることを示す。
• 2つに1つが同値であることの性質とモリタ同値および再帰的包摂の閉包性を応用し、ラティス予想をより広いクラスのdgカテゴリに拡張する。
• 局所系のケースを、${\mathrm{K}}^{\mathrm{st}}(\mathrm{Loc}(M,\mathbb{C}))\simeq{\mathrm{K}}^{\mathrm{st}}(\mathbb{C}[\pi_1M])$の同値性を用いて群代数に還元し、基本群がボルゲラおよび有理的ファーロン＝ジョーンズ予想を満たすことに依存する。
• 高階圏論およびホモトピー論の結果、特に等価性$\mathrm{Loc}(E,\mathbb{C})\simeq\mathrm{Perf}(C_*(\Omega E))$を用い、局所系をループ空間ホモロジーと関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半トポロジカルK理論は、連結な$$\mathbb{C}$-dg代数に対して導来的ネーター的不変性を満たすか？
• RQ2 完全複体が固有または有限型$$\mathbb{C}$-代数のネーター的拡大を施した場合、ラティス予想——つまり、トポロジカルなチェーン特徴が同値である——は成立するか？
• RQ3 どのクラスのトポロジカル空間$M$に対して、局所系のカテゴリ$\mathrm{Loc}(M,\mathbb{C})$がラティス予想を満たすか？
• RQ4 群代数から超えて、基本群がボルゲラおよびファーロン＝ジョーンズ予想を満たす空間上の局所系へとラティス予想を拡張できるか？
• RQ5 基本群がボルゲラ予想を満たすが有理的ファーロン＝ジョーンズ予想を満たさない空間を用いた、ファーロン＝ジョーンズ予想の反例の幾何的構成は可能か？

主な発見

• 半トポロジカルK理論の導来的ネーター的不変性は、連結な$$\mathbb{C}$-dg代数のネーター的拡大に対して成立し、基礎的な技術的結果を確立する。
• ラティス予想は、$B$が連結な固有の$$\mathbb{C}$-dg代数または有限型$$\mathbb{C}$-代数のネーター的拡大である場合、$T = \mathrm{Perf}(B)$に対して確認される。
• 点をもつ、連結で局所的に可縮可能な空間$M$上の局所系に対して、ラティス予想は$\pi_1M$が、双曲的、CAT(0)、写像類群、右アングルアーティン群を含む8つの指定された群のクラスのいずれかに属する場合に成立する。
• $\mathrm{Loc}(M,\mathbb{C})$の半トポロジカルK理論は、群代数$\mathbb{C}[\pi_1M]$のそれと同値であり、問題を群代数に還元する。
• 群論的仮定のもとで、トポロジカルなチェーン特徴は同値${\mathrm{K}}^{\mathrm{top}}(\mathrm{Loc}(M,\mathbb{C}))\otimes\mathbb{C}\xrightarrow{\sim}\mathrm{HP}(\mathrm{Loc}(M,\mathbb{C}))$を誘導する。
• これらの結果は、ボルゲラ予想を満たすが有理的ファーロン＝ジョーンズ予想を満たさない基本群をもつ空間$M$を探すことで、ファーロン＝ジョーンズ予想の反例を構成する新たな道筋を示唆する。