[論文レビュー] NLTS Hamiltonians and Strongly-Explicit SoS Lower Bounds from Low-Rate Quantum LDPC Codes

Louis Golowich, Tali Kaufman|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、低レートの量子LDPC符号を用いて、NLTSハミルトニアンと強く明示的な和の平方（SoS）下界を構築する。著者らは、線形距離を有する量子LDPC符号に『植え付けられた』強く明示的な非自明な符号語（すべて1のベクトル）を導入する新しい手法を提案することで、計算的に高価なガウスの消去法に依存することを回避し、ℓ-LINおよび3-XOR CSPsに対する初めての強く明示的なSoS下界を達成した。また、線形次元に限らず、任意の正の次元を有する符号からNLTSハミルトニアンを構築可能であることを証明した。

ABSTRACT

Recent constructions of the first asymptotically good quantum LDPC (qLDPC) codes led to two breakthroughs in complexity theory: the NLTS (No Low-Energy Trivial States) theorem (Anshu, Breuckmann, and Nirkhe, STOC'23), and explicit lower bounds against a linear number of levels of the Sum-of-Squares (SoS) hierarchy (Hopkins and Lin, FOCS'22). In this work, we obtain improvements to both of these results using qLDPC codes of low rate: - Whereas Anshu et al. only obtained NLTS Hamiltonians from qLDPC codes of linear dimension, we show the stronger result that qLDPC codes of arbitrarily small positive dimension yield NLTS Hamiltonians. - The SoS lower bounds of Hopkins and Lin are only weakly explicit because they require running Gaussian elimination to find a nontrivial codeword, which takes polynomial time. We resolve this shortcoming by introducing a new method of planting a strongly explicit nontrivial codeword in linear-distance qLDPC codes, which in turn yields strongly explicit SoS lower bounds. Our "planted" qLDPC codes may be of independent interest, as they provide a new way of ensuring a qLDPC code has positive dimension without resorting to parity check counting, and therefore provide more flexibility in the code construction.

研究の動機と目的

• 従来のSoS下界における弱い明示性を克服し、非自明な符号語を求めるために多項式時間のガウスの消去法を必要としないこと。
• 線形次元に限らず、任意の正の次元を有する量子LDPC符号からNLTSハミルトニアンを構築可能であることを確立すること。
• パリティーチェックの数え上げに依存せずに、量子LDPC符号に正の次元を保証する新しい手法を開発すること。
• 非自明な符号語が明示的に既知である線形距離を有する量子LDPC符号の新しい構成を提供することで、量子計算複雑性理論における柔軟性と応用性を高めること。

提案手法

• すべて1のベクトル（非自明な符号語）を『植え付けた』量子LDPC符号の新しい構成を導入し、強く明示的な性質を保証する。
• 小集合（余）境界拡張性を鍵となる性質として用い、NLTSおよびSoS下界の結果を保証する。
• 植え付けられた符号語を用いて、β = 1 の ℓ-LIN インスタンスを具体化し、すべて1のベクトルが計算的に自明であるため、強く明示的であることを保証する。
• [HL22] の既存のSoS下界フレームワークを活用し、弱い明示的符号語を植え付けられた構成による強く明示的符号語に置き換える。
• 小集合拡張性に依存することで、線形次元や局所的テスト可能性に依存せずに、低レートのqLDPC符号から導かれるハミルトニアンのNLTS性質を証明する。
• 確率的数え上げ的議論を避けるために、明示的な行列構成を用いて、非自明な符号語が保証された量子タンナー符号を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形次元を必要とせず、任意の正の次元を有する量子LDPC符号からNLTSハミルトニアンを構築可能か？
• RQ2 非自明な符号語を求めるためにガウスの消去法に依存せずに、CSPsに対する強く明示的なSoS下界を達成可能か？
• RQ3 パリティーチェックの数え上げに依存せず、正の次元が保証され、既知で明示的に計算可能な非自明な符号語を有する量子LDPC符号を構築可能か？
• RQ4 小集合（余）境界拡張性のみで、符号の次元や局所的テスト可能性に依存せずに、局所的ハミルトニアンにおけるNLTS性質を示せるか？
• RQ5 植え付けられた符号語技術を用いて、線形数のSoSレベルによる反証を回避する強く明示的なCSPの族を構築可能か？

主な発見

• 本稿では、[ABN23]で要請されていた線形次元の制約を排除し、任意の正の次元を有する量子LDPC符号からNLTSハミルトニアンを構築した。
• 著者らは、線形距離を有する量子LDPC符号にすべて1のベクトルを非自明な符号語として『植え付ける』新しい手法を提案し、強く明示的な性質を保証した。
• この植え付けられた構成により、Ω(n)レベルのSoS階層による反証が不可能な、初めての強く明示的なℓ-LINインスタンス族が得られた。
• 同じ構成により、充足可能性が(1−Ω(1))未満であり、小さな定数c>0に対してcnレベルのSoS反証を回避する、初めての強く明示的な3-XORインスタンスが得られた。
• 本手法はパリティーチェックの数え上げに依存せず、qLDPC符号における正の次元を保証する、新しい構成的アプローチを提供した。
• 結果として、小集合（余）境界拡張性が、線形次元や局所的テスト可能性に依存せずに、NLTSおよびSoS下界の両方を満たす十分条件であることが示された。