[論文レビュー] No metrics with Positive Scalar Curvatures on Aspherical 5-Manifolds

Misha Gromov|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、閉じた双曲的5次元多様体には正のスカラー曲率を持つリーマン計量が存在しないことを証明する。トーラル対称化された安定μバブルと重ね合わせ$Τ^*$-拡張によるスカラー曲率安定化を用いて、このような多様体の万有被覆が一様にアセイクルであることを示し、これは次元≤5における正のスカラー曲率の障害となる。

ABSTRACT

A metric space $X$ is called uniformly acyclic if there there exists an {\it acyclicty control function} $R=R(r)=R_X(r)\geq r $, $0\leq r 0$ for $dim (X)\leq 5$. Our argument, that depends on {\it torical symmetrization} of {\it stable $μ$-bubbles}, is inspired by the recent paper by Otis Chodosh and Chao Li on non-existence of metrics with $Sc>0$ on aspherical 4-manifolds and is also influenced by the ideas of Jintian Zhu and Thomas Richard.

研究の動機と目的

• 双曲的5次元多様体に正のスカラー曲率計量が存在しないことを確立すること。
• 4次元から5次元への双曲的多様体における正のスカラー曲率の非存在性結果を拡張すること。
• Chodosh-Liの4次元多様体に関する定理を、新しい幾何学的・解析的技法を用いて一般化すること。
• 一様アセイクル性とフィリング半径の上限が、正のスカラー曲率を妨げる役割を果たすメカニズムを調査すること。
• スカラー曲率の幾何的制御に基づいて、高次元の双曲的多様体に対する予想を提示すること。

提案手法

• 繰り返し重ね合わせ積拡張$X^* = X \times \mathbb{R}^N$を用いたスカラー曲率の$Τ^*$-安定化を導入する。
• スカラー曲率の関係を表す式$Sc(g^*) = Sc(g) - 2\sum \frac{\Delta \phi_i}{\phi_i} - 2\sum \langle \nabla \log \phi_i, \nabla \log \phi_j \rangle$を用いて、$X^*$上のスカラー曲率を$X$上のものと関連付ける。
• リーマンのバンドにおける安定$\mu$-バブルのトーラル対称化を用いて、スカラー曲率の上限下での幾何的不変量を制御する。
• コンパクトな双曲的多様体の万有被覆が一様にアセイクル（実際には一様に可縮的）であるという事実に依存する。
• フィリング半径およびウリソン幅の上限を用いて、安定化されたスカラー曲率$\geq \sigma > 0$の下で幾何的制約を導出する。
• Chodosh-Li (2020) および Zhu/Richard (2019) の技術を適応し、それらの結果を次元5に拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトな双曲的5次元多様体に正のスカラー曲率計量が存在可能か？
• RQ2 次元5における正のスカラー曲率を妨げる、万有被覆のどの幾何的性質が関与しているか？
• RQ3 $Τ^*$-安定化されたスカラー曲率が非存在定理の証明にどのように寄与するか？
• RQ4 フィリング半径およびウリソン幅の上限が、安定化されたスカラー曲率$\geq \sigma > 0$を満たす多様体をどの程度制約するか？
• RQ5 5より大きな次元$m > 5$について、非存在結果の高次元版が存在するか？

主な発見

• 次元$m \leq 5$の完備な向き付け可能な$m$-多様体で、一様にアセイクルな$m$-多様体への距離を減少させるようなproperな写像をもつものは、一様に正のスカラー曲率を持てない。
• コンパクトな双曲的5次元多様体の万有被覆は一様にアセイクルであり、これによりその多様体は$Sc > 0$となる計量をもてない。
• 閉じた曲面について、もし重ね合わせ$\mathbb{T}^N$-拡張において$Sc^* \geq \sigma$ならば、$\text{diam}(X) \leq 2\pi \sqrt{(N+1)/((N+2)\sigma)} < 2\pi / \sqrt{\sigma}$が成り立つ。
• スカラー曲率が$\mathbb{T}^N$-拡張内で$Sc^* \geq 2$を満たす閉じた曲面$X$について、面積は$\text{area}(X) \leq 4\pi$を満たし、Jintian Zhuの結果と一致する。
• 証明は、codimension 2における安定$\mu$-バブルとトーラル対称化に依拠しており、Chodosh-LiおよびZhuのアイデアを拡張している。
• $m=6$についての予想が提示され、万有被覆がcodimension 1で一様にアセイクルであるか、または$Sc \geq \sigma > 0$を満たす多様体のフィリング半径が$O(1/\sqrt{\sigma})$で有界である必要があるとされる。