[論文レビュー] No-regret Learning in Price Competitions under Consumer Reference Effects

Negin Golrezaei, Patrick Jaillet+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2020

Advanced Bandit Algorithms Research参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、消費者の参照価格効果を伴う二企業間の繰り返し価格競争を検討しており、需要は現在の価格と記憶に基づく参照価格に依存する。減少するステップサイズを用いたオンラインミラー降下（OMD）を用いて、著者らは企業の価格と参照価格が安定ナッシュ均衡（SNE）に収束することを証明した。これは、限られた情報と敵対的フィードバックのもとでも、長期的な市場安定性を保証するものである。

ABSTRACT

We study long-run market stability for repeated price competitions between two firms, where consumer demand depends on firms' posted prices and consumers' price expectations called reference prices. Consumers' reference prices vary over time according to a memory-based dynamic, which is a weighted average of all historical prices. We focus on the setting where firms are not aware of demand functions and how reference prices are formed but have access to an oracle that provides a measure of consumers' responsiveness to the current posted prices. We show that if the firms run no-regret algorithms, in particular, online mirror descent(OMD), with decreasing step sizes, the market stabilizes in the sense that firms' prices and reference prices converge to a stable Nash Equilibrium (SNE). Interestingly, we also show that there exist constant step sizesunder which the market stabilizes. We further characterize the rate of convergence to the SNE for both decreasing and constant OMD step sizes.

研究の動機と目的

• ノーレグレット学習アルゴリズムを用いる企業が、消費者の参照価格効果を伴う繰り返し価格競争において、長期的な市場安定性を達成できるかどうかを調査すること。
• 消費者の参照価格を、過去の価格の重み付き平均としてモデル化し、記憶に基づく需要ダイナミクスを反映すること。
• 需要関数や参照価格形成に関する知識が欠如する不完全情報下での市場安定性を分析すること。
• 企業の戦略と参照価格が安定ナッシュ均衡（SNE）に収束するための条件を確立すること。
• 減少するステップサイズおよび一定のステップサイズの両方において、価格と参照価格の収束速度を特徴づけること。

提案手法

• 二つの実企業と、参照価格ダイナミクスを表す仮想の「自然」企業を含む動的ゲームとして市場を形式化すること。
• 参照価格を、すべての過去の価格の重み付き平均として形成される時間変動型の状態としてモデル化し、企業の価格決定に従って進化させること。
• 各企業の価格戦略にオンラインミラー降下（OMD）を適用し、リアルタイムの応答フィードバックを提供するオракルを用いること。
• 実企業二社のゲームに動的状態を含めるために、一定のステップサイズで学習する仮想企業（自然）を導入し、三企業ゲームに変換すること。
• ブレグマン損失と強凸性を用いてレグレットと収束を分析し、変動するステップサイズ下でのOMDの性質を活用すること。
• 仮想企業が実企業よりも速く学習する場合でも、均衡への距離が時間とともに減少することを示すことで、SNEへの収束を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 繰り返し価格競争における参照価格効果のもとで、企業の価格と消費者の参照価格が安定ナッシュ均衡（SNE）に収束する条件は何か？
• RQ2 企業が需要や参照価格ダイナミクスの完全な知識を持たない状況でも、ノーレグレット学習アルゴリズム（例：OMD）を用いることで市場安定性を達成できるか？
• RQ3 OMDにおける減少するステップサイズのもとでSNEへの収束は成立するか？ その収束速度はいかほどか？
• RQ4 仮想企業（参照価格ダイナミクスをモデル化）が一定のステップサイズを用いる場合でも、実企業が減少するステップサイズを用いることで市場安定化は達成可能か？
• RQ5 与えられたモデル仮定のもとで、安定ナッシュ均衡（SNE）がどのような構造的性質を有するか？

主な発見

• 本稿では、与えられたモデルのもとで、一意な安定ナッシュ均衡（SNE）が存在することを確立した。SNEは、限界利益がゼロとなる一次条件によって特徴づけられる。
• 減少するOMDステップサイズを用いる場合、企業の価格と参照価格は、定理5.1で示されるように、線形速度でSNEに収束する。
• 仮想企業（自然）が一定のステップサイズを用いる場合でも、実企業がOMDで減少するステップサイズを用いることで、市場は依然として安定化する。
• 高速に学習する仮想企業の存在により、標準的なマルチエージェントオンライン学習の収束結果が無効化されるため、収束の証明は非自明である。
• 解析により、ブレグマン損失と正則化子の強凸性が、均衡への距離が時間とともに減少することを保証し、収束を可能にする。
• 系10.1.1により、SNEにおいて、各企業の価格に関する利益関数の勾配がゼロであることが確認され、均衡条件が裏付けられる。