[論文レビュー] No simple arbitrage for fractional Brownian motion

Rémi Peyre|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、任意のハーストパラメータ $ H \in (0,1) $、$ H \neq 1/2 $ を持つ分数 Browm運動（fBm）が、正の確率で右側の局所的最小値である停止時刻をもたないことを証明する。この結果により、fBmには強いノーアービッジ性が保証され、長-range 依存性が存在する中でも、局所的最小値に基づく単純な取引戦略によってリスクフリーな利益を得ることは不可能であることが示される。証明は、経路に依存する正則性推定、ガウス分布ベクトルの解析、および fBm の変種に対する繰り返し対数法則を用いて、連続的なイベントの合併集合を制御するものである。

ABSTRACT

We prove the following result: For $(Z_t)_{t \in \mathbf{R}}$ a fractional Brownian motion with arbitrary Hurst parameter, there does not exist any stopping time $τ$ adapted to the natural filtration of the increments of $Z$ such that, with positive probability, $τ$ a local minimum at right of the trajectory of $Z$.

研究の動機と目的

• 分数 Browm 運動（fBm）の自然なフィルトレーションに適合する任意の停止時刻が、正の確率で右側の局所的最小値であることはありえないことを確立すること。
• fBm が軌道の先行する局所的最小値に基づく「シンプルなアービッジ」戦略を許さないことを示すこと。
• 標準 Browm 運動のノーアービッジ性を、$ H \neq 1/2 $ の長-range 依存性を持つ fBm の場合に拡張すること。
• 正則性推定とガウス分布ベクトル技術を用いて、fBm 軌道に対する厳密な経路的解析を行い、このような停止時刻の存在を除外すること。

提案手法

• 微分積分法を用いた決定的積分による部分積分を用いて、fBm を双方向 Browm 運動に関する確率積分として経路的に表現する。
• 潜在的な局所的最小値の近傍での局所的振動挙動を捉えるために、fBm の変種を導入し、繰り返し対数法則を適用する。
• fBm の正則性推定を用いて、時間軸上の連続的なイベントの合併集合を有限個の合併集合に離散化し、確率的制御を可能にする。
• 停止時刻における条件付き分布から生じる共分散行列の行列式および逆行列を制御するために、ガウス分布ベクトル解析を適用する。
• 作用素ノルム推定と行列摂動理論を用いて、条件付きの共分散行列の挙動を制御する。
• 二項係数および幾何級数に関する技術的補題を用いて、行列成分および行列式の指数的バインドを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数 Browm 運動（fBm）に対して、正の確率で右側の局所的最小値である停止時刻が存在しうるか？
• RQ2 H \neq 1/2 の fBm における長-range 依存性が、局所的最小値に基づくシンプルなアービッジ戦略を許すか？
• RQ3 適応停止時刻を用いた fBm 軌道における局所的最小値の検出に、経路的障害が存在するか？
• RQ4 fBm 軌道の局所的挙動は、このような停止時刻の存在をどのように妨げるか？

主な発見

• fBm の自然なフィルトレーションに適合する任意の停止時刻 $ \tau $ が、正の確率で右側の局所的最小値であることは存在しない。
• この結果は、すべてのハーストパラメータ $ H \in (0,1) $ に対して成り立ち、$ H \neq 1/2 $ の場合を含む。また、$ H = 1/2 $ に対しても自明に拡張可能である。
• 主な障害は、fBm の同時ガウス構造と Hölder 正則性に起因し、予測可能な局所的最小値の存在を不可能にする。
• 候補となる停止時刻の近傍での局所的経路挙動を分析するために、修正された fBm の変種に対する繰り返し対数法則を確立した。
• 共分散行列の行列式および逆行列に関する行列推定を導出し、インデックス間の距離に応じて指数的減衰が生じることを示した。これにより、まれなイベントの確率が制御される。
• 証明により、停止時刻が右側の局所的最小値である確率は、条件付き確率であってもゼロであることが示された。これは、内在的な経路の正則性および依存構造のおかげである。