[論文レビュー] No small nondeterministic read-once branching programs for CNFs of bounded treewidth

Igor Razgon|BIROn (Birkbeck, University of London)|Jul 2, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、有界な木幅をもつ単調な2-CNFの非決定的1回読みの分岐プログラム（nROBPs）が、ある定数 $ c > 0 $ に対して $ n^{ck} $ 以上のサイズを必要とする、という下界を証明している。これは、木幅が有界であっても、nROBPの固定パrameter化可能空間計算量が成り立たないことを示している。この結果は、新たなグラフパラメータであるDistant Matching Width（dmw）と、dmwが高く、木幅が有界なグラフの再帰的構成を用いて得られており、nROBPがこのような関数を効率よく表現できないことを示している。

ABSTRACT

In this paper, given a parameter $k$, we demonstrate an infinite class of {\sc cnf}s of treewidth at most $k$ of their primary graphs such that the equivalent nondeterministic read-once branching programs ({\sc nrobp}s) are of size at least $n^{ck}$ for some universal constant $c$. Thus we rule out the possibility of fixed-parameter space complexity of {\sc nrobp}s parameterized by the smallest treewidth of the equivalent {\sc cnf}.

研究の動機と目的

• 入力のCNFの主グラフの木幅が有界である場合に、非決定的1回読みの分岐プログラム（nROBPs）が固定パrameter化可能空間計算量を達成できるかどうかを調査すること。
• 従来の順序付き2分決定図（OBDDs）に対する下界を、より強力なnROBPモデルに拡張すること。
• 任意に大きな $ k $ に対して、木幅が $ k $ 以下であるが、その等価なnROBPが超多項式サイズを必要とする、単調な2-CNFの無限族を構成すること。
• nROBPサイズの下界を証明するための道具として、Distant Matching Width（dmw）パラメータを導入し、その分析を行うこと。

提案手法

• グラフに対して、前半と後半の頂点集合間に大きなマッチングをサポートする頂点順序の最小幅を測る、Distant Matching Width（dmw）パラメータを導入する。
• グラフ $ G $ が単調な2-CNFに対応し、そのdmwが $ t $ 以上である場合、その等価な任意のnROBPのサイズは、$ a $ を $ G $ の最大次数に依存する定数として、少なくとも $ 2^{t/a} $ 以上であることを証明する。
• 再帰的な木のような構成を用いて、木幅 $ k $、最大次数5、dmwが $ b \log n \cdot k $ 以上であるような無限族のグラフを構成する。ここで $ b $ は普遍定数である。
• これらのグラフの再帰的構造を活用し、nROBPにおけるパス集合に対して帰納的数え上げの議論を適用し、必要なパス数がdmwに指数的に増加することを保証する。
• 単調な2-CNFとグラフの対応（節を辺として扱う）を活用し、グラフ論的性質をnROBPサイズの下界に翻訳する。
• nROBPの非決定的かつ1回読みの制約を反映した、パス分割とマッチング幅に基づく修正された数え上げ議論を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 入力CNFの主グラフの木幅をパラメータとして、nROBPsが固定パrameter化可能空間計算量を達成できるか？
• RQ2 任意に大きな $ k $ に対して、木幅が $ k $ 以下であるが、その等価なnROBPがサイズ $ n^{ck} $ を必要とするようなCNFの無限族が存在するか？ここで $ c > 0 $ は定数である。
• RQ3 単調な2-CNFにおけるnROBPサイズの下界として機能するグラフ論的パラメータは何か？
• RQ4 OBDDsに用いられた下界技法を、より表現力の強いnROBPモデルに拡張できるか？
• RQ5 最大次数が有界なグラフにおいて、木幅とDistant Matching Width（dmw）の関係は何か？

主な発見

• 十分に大きな各 $ k $ に対して、木幅が $ k $ 以下であるが、その等価なnROBPがサイズ $ n^{ck} $ 以上であるような、単調な2-CNFの無限族が存在する。ここで $ c > 0 $ は普遍定数である。
• グラフ $ G $ のDistant Matching Width（dmw）は、$ G $ に対応する単調な2-CNFと等価な任意のnROBPのサイズに対して下界を与える。具体的には、$ t $ をdmw、$ a $ を$ G $ の最大次数に依存する定数として、少なくとも $ 2^{t/a} $ 以上である。
• 木幅 $ k $、最大次数5、dmwが $ b \log n \cdot k $ 以上であるような、無限族のグラフが存在する。ここで $ b $ は普遍定数であり、$ k $ とは無関係である。
• nROBPサイズの下界はdmwに関して指数的であり、dmwが $ \Omega(\log n \cdot k) $ と成長するため、$ k $ が有界であっても、nROBPサイズは $ n $ に関して超多項式的になる。
• この結果は、nROBPsが有界な木幅をもつCNFとして表現可能な関数を効率よく表現できないことを示しており、このモデルにおける固定パrameter化可能空間計算量が成り立たないことを意味する。
• nROBPsの非決定的性質のため、証明技法はOBDDsの場合よりも制限が厳しいため、CNFインスタンスのより繊密な構築が要求される。