[論文レビュー] No Strong Parallel Repetition with Entangled and Non-signaling Provers

Julia Kempe, Oded Regev|ArXiv.org|Nov 1, 2009

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、証明者がもつれを共有するか、非信号的である場合、2プローバーゲームにおける強い並列反復が成立しないことを示しており、長年の予想を反証する。特に、一意ゲームと直線ゲームを用いて明示的な反例を構築し、勝利確率が (1−Θ(1/n²))ℓ に漸近的に減少することを示し、非信号的プローバーに対する Holenstein の境界およびもつれプローバーに対する既知の境界が両方ともタイトであることを証明する。

ABSTRACT

We consider one-round games between a classical verifier and two provers. One of the main questions in this area is the \emph{parallel repetition question}: If the game is played $\ell$ times in parallel, does the maximum winning probability decay exponentially in $\ell$? In the classical setting, this question was answered in the affirmative by Raz. More recently the question arose whether the decay is of the form $(1-Θ(\eps))^\ell$ where $1-\eps$ is the value of the game and $\ell$ is the number of repetitions. This question is known as the \emph{strong parallel repetition question} and was motivated by its connections to the unique games conjecture. It was resolved by Raz who showed that strong parallel repetition does \emph{not} hold, even in the very special case of games known as XOR games. This opens the question whether strong parallel repetition holds in the case when the provers share entanglement. Evidence for this is provided by the behavior of XOR games, which have strong (in fact \emph{perfect}) parallel repetition, and by the recently proved strong parallel repetition of linear unique games. A similar question was open for games with so-called non-signaling provers. Here the best known parallel repetition theorem is due to Holenstein, and is of the form $(1-Θ(\eps^2))^\ell$. We show that strong parallel repetition holds neither with entangled provers nor with non-signaling provers. In particular we obtain that Holenstein's bound is tight. Along the way we also provide a tight characterization of the asymptotic behavior of the entangled value under parallel repetition of unique games in terms of a semidefinite program.

研究の動機と目的

• もつれや非信号的プローバーを有するゲームにおける強い並列反復問題を解決すること。
• もつれや非信号的プローバーを有するゲームにおいて、繰り返しゲームの勝利確率が (1−ε)ℓ の形で指数的に減少するかどうかを特定すること。
• もつれおよび非信号的値が並列反復の下で減少するレートに対するタイトな境界を確立すること。
• 半定値計画法を用いて、一意ゲームの漸近的挙動をもつれ値として特徴付けること。
• 非信号的およびもつれプローバーに対する既存の並列反復定理が、タイトな反例を構築することで最適であることを示すこと。

提案手法

• 古典的値 ω(G_uL) = 1−Θ(1/n)、もつれ値 ω*(G_uL) = 1−Θ(1/n²)、非信号的値 ω^ns(G_uL) = 1−Θ(1/n²) を持つ一意ゲームの族、すなわち「一意直線ゲーム」G_uL を構築する。
• 半定値計画法 (SDP1 および SDP2) を用いて一意ゲームのもつれ値を特徴付け、SDP1 と SDP2 の解の間に2次的な差が生じることを示す。
• SDP ベクトルから得られる相関付きサンプリングおよび正規直交基底に基づくテンソル積戦略を用いて、繰り返しゲームの勝利戦略を構築する。
• G_uL^ℓ における戦略が、答え 3 を一切使用しないこと、かつ勝利確率を保つことから、G_L^ℓ に対しても有効であることを示す。
• SDP 解が非負の内積を持つことを利用して、SDP2 の制約下でも妥当性を保証する。
• Holenstein の境界のタイト性を証明するため、ℓ ≥ n² のとき ω^ns(G_L^ℓ) ≥ (1−O(1/n²))ℓ であることを示し、非信号的値の減少レートと一致させることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 証明者がもつれを共有する場合、2プローバーゲームにおける強い並列反復は成立するか？
• RQ2 非信号的値が並列反復の下で (1−Θ(ε))ℓ の形で減少するか、それよりも遅いのか？
• RQ3 非信号的プローバーに対する Holenstein の境界は改善可能か、それともタイトか？
• RQ4 一意ゲームのもつれ値が並列反復の下で漸近的にどのように振る舞うか？
• RQ5 XOR ゲームや他の特殊クラスのゲームは、もつれや非信号的設定において完全または強い並列反復を示すか？

主な発見

• もつれプローバーにおいて強い並列反復が成立しないことが、もつれ値が (1−Θ(1/n²))ℓ に漸近的に減少する一意ゲームの族を構築することで示された。
• 同じゲームの非信号的値も (1−Θ(1/n²))ℓ に減少することを示し、Holenstein の境界 (1−Θ(ε²))ℓ がタイトであることを証明した。
• アルファベットサイズ 2 の直線ゲーム G_L は、強い並列反復に対する反例を提供し、単純なゲームでも強い並列反復が破綻することを示した。
• 一意ゲームにおいて、SDP1 と SDP2 の緩和の間に2次的な差が存在し、この文脈において SDP2 が SDP1 よりも厳密に強いことを示した。
• 繰り返しゲームの構築戦略は、相関付きサンプリングのステップがあるため、SDP 解のテンソル積に基づいてはいるが、積戦略ではない。
• ℓ ≥ n² のとき、G_L^ℓ の古典的値、もつれ値、非信号的値はすべて ω(G_L^ℓ) ≥ (1−O(1/n²))ℓ を満たし、減少レートがゲーム構造そのものに起因することを示した。