[論文レビュー] Nodal solutions for Lane-Emden problems in almost-annular domains

Anna Lisa Amadori, Francesca Gladiali+1 more|arXiv (Cornell University)|May 21, 2016

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、$ m $ 個のノード領域をもつノード解の存在を、$ p > 1 $ で $ \{p_k\} $ という $ +\infty $ に収束する離散的数列を除き、$ C^2 $-摂動を受けるアニュラスに近い領域 $ \Omega_t $ におけるLane-Emden問題 $ -\Delta u = |u|^{p-1}u $ に対して確立する。結果は、非摂動的アニュラスにおける径数ノード解にimplicit function theoremを適用することに依拠し、固有値条件によって特徴づけられる孤立した臨界指数を除き、非退化性が保証される。

ABSTRACT

In this paper we prove an existence result to the problem $$\left\{\begin{array}{ll} -Δu = |u|^{p-1} u \qquad & ext{in} Ω, \\ u= 0 & ext{on} \partialΩ, \end{array} ight. $$ where $Ω$ is a bounded domain in ${\mathbb R}^{N}$ which is a perturbation of the annulus. Then there exists a sequence $p_11$ and $p e p_k$ there exist at least one solution with $m$ nodal zones. In doing so, we also investigate the radial nodal solution in an annulus: we provide an estimate of its Morse index and analyze the asymptotic behavior as $p o 1$. Keywords: semilinear elliptic equations, nodal solutions, supercritical problems.

研究の動機と目的

• アニュラスの小規模な $ C^2 $-摂動領域におけるノード解が $ m $ 個のノード領域をもつことの存在を確立すること。
• 径数ノード解が非退化であるような指数 $ p $ の集合を特定し、implicit function theoremの適用を可能にする。
• Sobolev埋め込みのコンパクト性の欠如に起因する超臨界指数 $ p \to \infty $ に対しても、存在結果を拡張すること。
• 摂動領域におけるノード解のモース指数を特徴づけ、$ p \to 1 $ および $ p \to \infty $ における漸近的挙動を分析すること。

提案手法

• 摂動領域 $ \Omega_t $ における問題を、基準アニュラス $ A $ における問題に微分同相写像で変換し、線形摂動作用素 $ L_t $ を導入する。
• 空間 $ \mathbb{R} \times C^{2,\gamma}_0(\bar{A}) $ 上に $ C^1 $-写像 $ F(t, v) = -\Delta v - L_t v - |v|^{p-1}v $ を定義し、アニュラス内での径数解 $ v_p $ に対して $ F(0, v_p) = 0 $ が成り立つようにする。
• 点 $ t = 0 $ においてimplicit function theoremを適用する。これは、Fréchet微分 $ D_v F(0, v_p) $ が可逆であることが必要であり、これは $ v_p $ が非退化であるときに限り成立する。
• 径数ノード解 $ v_p $ の退化性を、固有値条件 $ \nu_l(p) = -j(N-2+j) $ または $ \nu_m(p) = -(N-1) $ によって特徴づける。これらの条件は、孤立した $ p $-値でのみ成立する。
• 退化する $ p $-値の集合が可算であり、$ +\infty $ にのみ収束することを証明し、すべての $ p \neq p_k $ に対して解の存在を保証する。
• 解分岐 $ v_t $ が $ C^{2,\gamma} $ で連続であることを確立し、小規模な摂動においてノード領域の数が保たれることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの指数 $ p > 1 $ に対して、アニュラスの小規模な摂動領域 $ \Omega_t $ におけるLane-Emden問題が $ m $ 個のノード領域をもつノード解をもつか？
• RQ2 径数ノード解が非退化であるための条件は何か？ これはimplicit function theoremによる連続性の適用を可能にする。
• RQ3 摂動領域におけるノード解のモース指数はどのように振る舞い、$ p \to 1 $ および $ p \to \infty $ における漸近的挙動は？
• RQ4 $ p \to 1 $ および $ p \to \infty $ におけるノード解の漸近的プロファイルは何か？ また、アニュラス内での径数解とどのように関係するか？
• RQ5 星型領域では解が存在しないPohozaev恒等式が成立する領域において、穴あき領域における超臨界指数へのノード解の存在は拡張可能か？

主な発見

• 数列 $ \{p_k\} $ が存在し、$ p_k \nearrow +\infty $ を満たす。すべての $ p > 1 $、$ p \neq p_k $ に対して、十分に小さい $ t $ に対して $ \Omega_t $ において正確に $ m $ 個のノード領域をもつ少なくとも1つの古典解が存在する。
• 径数ノード解が非退化であるための必要十分条件は、すべての $ l = 1,\dots,m $、$ j \geq 2 $ に対して $ \nu_l(p) \neq -j(N-2+j) $ であり、かつ $ \nu_m(p) \neq -(N-1) $ である。
• 摂動領域 $ \Omega_t $ における解 $ u_p $ のモース指数は、アニュラス内での径数解 $ v_p $ のモース指数に等しく、すなわち $ m(u_p) = m(v_p) $ が成り立つ。
• $ p \to \infty $ において、解のモース指数は $ \lim_{p \to \infty} m(u_p) = +\infty $ を満たし、振動数と複雑性が増加することを示唆する。
• $ p $ が 1 に近いとき、$ \Omega_t $ 内の解 $ u_p $ は $ C^0 $-ノルムにおいて関数 $ \psi_m(y + t\tilde{\sigma}(y)) $ に一様に近づく。これは線形化問題の第一固有関数に関連する。
• $ p $ が大きいとき、解 $ u_p $ は $ C^0 $-ノルムにおいて径数関数 $ \omega(y + t\tilde{\sigma}(y)) $ に一様に近づく。この関数のプロファイルは、$ p \to \infty $ におけるアニュラス内径数解の漸近的挙動によって決定される。