[論文レビュー] Node-less atomic wave functions, Pauli repulsion and systematic projector augmentation

Peter E. Blöchl, Clemens J. Först|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2012

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、原子固有状態の完全な情報を保持したままノードを除去したノードレスな原子波動関数およびエネルギーに依存するノード低減波動関数を構築する新しい手法を提案する。シュレーディンガー方程式を逆転させることで、核電子によるパウリ反発を記述する有効ポテンシャルを導出し、PAW法における体系的なプロジェクターアugmentationスキームを可能にするとともに、従来の擬ポテンシャルとは異なり物理的に明確で、電子相関が強い系においても高い精度を達成する代替手法を提供する。

ABSTRACT

A construction of node-less atomic orbitals and energy-dependent, node-reduced partial waves is presented, that contains the full information of the atomic eigenstates and that allows to represent the scattering properties in a transparent manner. By inverting the defining Schrödinger equation, the Pauli repulsion by the core electrons can be represented as effective potential. This construction also provides a description of the Pauli repulsion by an environment. Furthermore, the representation leads to a new systematic scheme for a projector augmentation. The relation to Slater orbitals is discussed.

研究の動機と目的

• ノードを除去しながらも固有状態に関する完全な情報を保持する物理的に透明な原子波動関数の表現を構築すること。
• 核電子によるパウリ反発を、有効でエネルギーに依存し、局所的でないポテンシャルとして記述すること。
• Projector Augmented Wave (PAW) 法における体系的で物理的に根拠のあるプロジェクターアグメンテーションスキームを可能にすること。
• タイトビンディング軌道の構築およびDFTに基づくシミュレーションへの強い電子相関の組み込みを可能にする枠組みを提供すること。

提案手法

• 基底状態から出発し、関係式 $(\hat{H} - E_n)|u_n\rangle = -|u_{n-1}\rangle$ を用いて、再帰的にノードレス波動関数を構築する。
• エネルギー差を用いて、標準的な束縛状態 $|\psi_n\rangle$ とノードレス関数 $|u_n\rangle$ の間の変換を導出する： $|\psi_n\rangle = \sum_{m=1}^n |u_m\rangle \prod_{j=1}^{m-1}(E_j - E_n)$。
• シュレーディンガー方程式を逆転させることで、パウリ反発を有効ポテンシャルとして表現し、局所的でない擬ポテンシャル記述を実現する。
• エネルギーに依存するノード低減波動関数 $|q_n(E)\rangle$ を $|q_n(E)\rangle = \frac{|q_{n-1}(E)\rangle - |q_{n-1}(E_{n-1})\rangle}{E - E_{n-1}}$ で定義し、正しい原点における振る舞いを保証する。
• 非同次径方向シュレーディンガー方程式を $r$ のべき級数展開を用いて解き、係数 $a_j$ の再帰的関係を導出する。
• エネルギー微分関係を導出し、$|q_{n+j}(E_n)\rangle = \frac{1}{j!}|q_n^{(j)}(E_n)\rangle$ を得ることで、高次プロジェクタの体系的構築を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノードレスな原子波動関数を、径方向ノードを除去しながらも原子固有状態の完全な情報を保持するように、体系的に構築する方法は何か？
• RQ2 シュレーディンガー方程式の逆転によって、核電子由来のパウリ反発を有効でエネルギーに依存し、局所的でないポテンシャルとして表現できるか？
• RQ3 得られた波動関数が、PAW法における体系的かつ物理的に透明なプロジェクターアグメンテーションスキームを可能にする仕組みは何か？
• RQ4 これらのノードレス波動関数とスレーター型軌道や従来の擬ポテンシャルとの間の数学的・物理的関係は何か？

主な発見

• ノードレス波動関数 $|u_n\rangle$ は、エネルギー差を用いて束縛状態 $|\psi_n\rangle$ から再帰的に構築され、元の固有状態の正確な再構成が保証される。
• $|q_n(E)\rangle$ の原点における一次的挙動は $r^{\ell + 2(n-1)}$ のオーダーとなり、エネルギーに依存しない係数を伴い、量子数の増加に伴い反発が強くなることが確認される。
• $|q_n(E)\rangle$ のエネルギー微分が $E_n$ で評価されると $|q_{n+j}(E_n)\rangle = \frac{1}{j!}|q_n^{(j)}(E_n)\rangle$ が得られ、高次プロジェクタの体系的・再帰的構築が可能になる。
• パウリ反発を記述する有効ポテンシャルはシュレーディンガー方程式から直接導出され、局所的でなく、初期の擬ポテンシャル手法で見られる発散を回避する。
• この手法はタイトビンディング軌道の自然な基底を提供し、物理的に根拠のあるアグメンテーションスキームを通じて、DFTフレームワークへの強い電子相関の組み込みを可能にする。
• この形式的枠組みは相対論的系へも拡張可能であり、PAW法と整合的であり、標準的な擬ポテンシャル構築の代替として、透明で体系的な代替手法を提供する。