[論文レビュー] Nodes in the Relativistic Quantum Trajectories and Photon's Trajectories

T. Djama|ArXiv.org|Jan 1, 2002

Quantum Mechanics and Applications被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、相対論的系へ決定論的量子力学の枠組みを拡張し、定常および線形ポテンシャル下で相対論的量子軌道（RQTs）がノード（軌道が交差する点）を示すことを示した。非相対論的量子軌道と同様に、隣接するノード間の距離はド・ブロイ波長の半分に等しく、ノードの周期性が相対論的領域における量子波動と粒子の二重性と直接結びつくことが示された。

ABSTRACT

Through the constant potential and the linear potential, we establish the existence of nodes for the relativistic quantum trajectories as the same way as for the quantum trajectories. We establish the purely relativistic limit $(\hbar o 0)$ for these trajectories, and link the nodes to de Broglie's wavelength.

研究の動機と目的

• 量子ハミルトニアン＝ヤコビ方程式に基づく決定論的量子力学の形式を相対論的系へ拡張すること。
• 定常および線形ポテンシャル下で、非相対論的量子軌道に特徴的なノードが相対論的量子軌道（RQTs）に残存するかを調査すること。
• RQTsにおけるノード間隔と相対論的極限におけるド・ブロイ波長との関係を確立すること。
• これらのノードが光子軌道に与える影響および形式の高次元への一般化を探索すること。
• 相対論的量子ラグランジアンおよび相対論的量子定常ハミルトニアン＝ヤコビ方程式（RQSHJE）から導かれたニュートンの法則の妥当性を検証すること。

提案手法

• ファラッジとマトネの形式を用いて、相対論的還元作用 $ S_0 = \hbar \arctan[a\phi_1/\phi_2 + b] $ から相対論的量子定常ハミルトニアン＝ヤコビ方程式（RQSHJE）を導出する。
• 共役運動量を $ \partial S_0 / \partial x = \pm \hbar aW / [\phi_2^2 + (a\phi_1 + b\phi_2)^2] $ で表し、ここで $ W $ はクライン＝ゴルドン方程式の解 $ \phi_1, \phi_2 $ のロンスキアンである。
• 相対論的量子ラグランジアン $ L = -m_0 c^2 \sqrt{1 - \dot{x}^2 / c^2 \cdot f(x,\mu,\nu,E)} - V(x) $ を導入し、相対論的量子ニュートンの法則の第一積分（FIRQNL）を導出する。
• オイラー積分法を用いて、定常および線形ポテンシャルに対してFIRQNLを数値的に解き、$ \phi_1 $ および $ \phi_2 $ を得た後、式（8）からRQTsをプロットする。
• 時間における逆正 tangent 解の周期性からノード位置を計算し、逆正 tangent の引数が $ \pi/2 $ の奇数倍に達する時刻 $ t_n $ をノード時刻として特定する。
• ノード間の空間的距離 $ \Delta x_n $ をド・ブロイ波長 $ \lambda = h/p $ と関連付け、定常ポテンシャル下で $ \Delta x_n = \lambda / 2 $ が成り立つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定常および線形ポテンシャル下で、非相対論的量子軌道と同様に相対論的量子軌道（RQTs）はノードを示すか？
• RQ2 相対論的領域におけるRQTsのノード間隔とド・ブロイ波長の関係は何か？
• RQ3 相対論的量子ラグランジアンおよび導出されたFIRQNLは、既知の相対論的力学およびノード構造をどのように再現するか？
• RQ4 形式は光子軌道を記述するために拡張可能か？このような場合、ノードはどのように現れるか？
• RQ5 ロンスキアンおよび $ \phi_1 $ と $ \phi_2 $ の位相空間構造が、軌道およびノード位置を決定する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 定常ポテンシャル下での相対論的量子軌道（RQTs）は、時間的および空間的に周期的なノードを示し、ノード間隔は $ \Delta t_n = \pi \hbar (E - U_0) / [(E - U_0)^2 - m_0^2 c^4] $ および $ \Delta x_n = \pi \hbar c / \sqrt{(E - U_0)^2 - m_0^2 c^4} $ である。
• 定常ポテンシャルの場合、隣接するノード間の空間的距離は正確にド・ブロイ波長の半分に等しい：$ \Delta x_n = \lambda / 2 $、ここで $ \lambda = hc / \sqrt{(E - U_0)^2 - m_0^2 c^4} $ である。
• ノード間の平均共役運動量 $ \langle \partial S_0 / \partial x \rangle $ は、相対論的運動量 $ p = \sqrt{(E - U_0)^2 - m_0^2 c^4} / c $ に等しく、相対論的力学と整合していることを確認する。
• 線形ポテンシャルの場合の数値解は、ノードの存在を確認しており、転送点付近で速度が低下するに従いノード間隔が増加することが示された。
• RQTsにおけるノード位置は、還元作用式の分母に位置する解 $ \phi_2 $ のゼロに直接関連しており、非相対論的ケースと類似している。
• 形式は相対論的領域にうまく一般化されており、$ c \to \infty $ の極限でRQTsは非相対論的量子軌道に還元され、ノードは根本的な特徴として存続する。