[論文レビュー] Noether's Theorem for a Fixed Region

Klaus Bering|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2009

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 6被引用数 50

ひとこと要約

本稿は、すべての領域に対してではなく、固定された1つの積分領域でのみ成り立つグローバルな準対称性という、新しいかつ最小限の仮定の下でネーターの第一定理の初等的証明を提示する。主な貢献は、この1領域に限った準対称性が、局所的オンシェルフ保存則をノエター・カレントを用いて導出可能であることを示したことであり、従来のすべての領域における準対称性の要請を覆し、局所化およびホモトピー的手法を用いてそのグローバルな有効性を示している。

ABSTRACT

We give an elementary proof of Noether's first Theorem while stressing the magical fact that the global quasi-symmetry only needs to hold for one fixed integration region. We provide sufficient conditions for gauging a global quasi-symmetry.

研究の動機と目的

• 固定された1つのワールドボリュームにおける作用のグローバルな準対称性が、局所的オンシェルフ保存則を導くことを確立すること。
• 準対称性がすべての積分領域で成り立つ必要があるという従来の仮定を疑い、ノエター・カレントを導出するための条件を再考すること。
• 閉形式の基準を用いて、自己完結的かつ最小限の条件下でグローバルな準対称性をゲージ化する方法を提供すること。
• 保存則を導出する際の、オフシェルフ、グローバル、および可投影的準対称性の役割を明確にすること。

提案手法

• 固定されたワールドボリューム ${\cal V}$ を用い、この領域での作用 $S_{{\cal V}}$ のオフシェルフグローバル準対称性を仮定する。
• 局所化技術を適用し、作用をより小さな部分領域に分解することで、局所的ノエター恒等式を導出する。
• ジャンプ・プロラングおよびホモトピー法を用いて、$d_\mu J^\mu(x) \equiv -\frac{\delta{\cal L}(x)}{\delta\phi^\alpha(x)} Y^\alpha_0(x)$ を満たすノエター・カレント $J^\mu(x)$ を構成する。
• 可投影的準対称性の概念を導入し、スター型のターゲット空間を用いてホモトピー逆元の存在を保証する。
• 付録Bで、特に関数 $f^\mu$ とラグランジアンとの関係を含め、グローバルな準対称性のゲージ化に必要な十分条件を閉形式で導出する。
• 局所的発散項を除去することで対称性構造を単純化できることを示し、準対称性仮定の妥当性を裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての領域ではなく、固定された1つの領域でのみ成り立つ準対称性から、ネーターの第一定理を導出可能か？
• RQ2 固定領域におけるグローバルでオフシェルフの準対称性が、どのような最小限の条件下で局所的保存則を導くか？
• RQ3 グローバルな準対称性を体系的にゲージ化するにはどうすればよく、その手続きに必要な十分条件は何か？
• RQ4 どのような条件下で、ラグランジアンに全微分項を加えることで、準対称性を真の対称性に高められるか？

主な発見

• 固定された1つの領域 ${\cal V}$ における作用 $S_{{\cal V}}$ のグローバルな準対称性が、局所的オンシェルフ保存則 $d_\mu J^\mu(x) \approx 0$ を導くのに十分である。
• ノエター・カレント $J^\mu(x)$ は、固定領域の対称性から導かれるオフシェルフ恒等式 $d_\mu J^\mu(x) \equiv -\frac{\delta{\cal L}(x)}{\delta\phi^\alpha(x)} Y^\alpha_0(x)$ を満たす。
• ターゲット空間が可縮で、かつ対称性が可投影的であるという仮定の下で、1領域における準対称性は、すべての部分領域 ${\cal U} \subseteq {\cal V}$ におけるグローバルな準対称性を含意する。
• 付録Bで示される閉形式の表現を通じて、グローバルな準対称性のゲージ化に必要な十分条件が提供され、特に関数 $f^\mu$ とゲージ場への結合性との関係が重要である。
• 任意の準対称性が、適度な条件下でラグランジアンに全微分 $d_\mu \Lambda^\mu$ を加えることで、局所的に真の対称性に高められることを示した。
• 本証明により、従来のすべての領域における準対称性の要請は、必要以上に強いものであり、固定領域仮定でも同様に強い物理的結論が得られることを確立した。