[論文レビュー] Noether's theorem, the stress-energy tensor and Hamiltonian constraints

Michel Leclerc|ArXiv.org|Aug 20, 2006

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

この論文はゲージ対称性および座標対称性の文脈においてネーターの定理を再考し、グローバル変換と局所変換の間の中間的である線形変換——これにより四次元発散表現を介して電流の保存が生じることを示している。一般共変性を満たす一次理論において、ベルンファントのエネルギー運動量テンソルが恒等的に消えることにより、一般相対性理論における重力的エネルギー運動量擬テンソルが発散がゼロであるのに対し、特殊相対性理論におけるそれらがそうではない理由が解明される。

ABSTRACT

Noether's theorem is reviewed with a particular focus on an intermediate step between global and local gauge and coordinate transformations, namely linear transformations. We rederive the well known result that global symmetry leads to charge conservation (Noether's first theorem), and show that linear symmetry allows for the current to be expressed as a four divergence. Local symmetry leads to identical conservation of the current and allows for the expression of the charge as two dimensional surface integral (Noether's second theorem). In the context of coordinate transformations, an additional step (Poincare symmetry) is of physical interest and leads to the definition of the symmetric Belinfante stress-energy tensor, which is then shown to be identically zero in generally covariant first order theories. The intermediate step of linear symmetry turns out to be important in general relativity when the customary first order Lagrangian is used, which is covariant only under affine transformations. In addition, we derive explicitely the canonical stress-energy tensor in second order theories in its identically conserved form. Finally, we analyze the relations between the generators of local transformations, the corresponding currents and the Hamiltonian constraints.

研究の動機と目的

• グローバル対称性と局所変換の間の中間的である線形変換——特に線形変換——が保存則の導出において果たす役割を明確化すること。
• 一般相対性理論と特殊相対性理論におけるエネルギー運動量テンソルの発散性質に見られる表面的な矛盾を解消すること。
• 二次理論における正準およびベルンファントのエネルギー運動量テンソルを導出し、それらが恒等的に保存されることを示すこと。
• 第一級の制約系における局所変換の生成子、保存電流、ハミルトニアンの制約との対応関係を確立すること。
• 一般共変性を満たす一次理論においてベルンファントのエネルギー運動量テンソルが恒等的にゼロになることの説明を行い、重力的擬テンソルの構造を解明すること。

提案手法

• 内部ゲージ対称性にネーターの第一および第二定理を適用し、ラグランジアンのグローバルおよび局所不変性から保存電流を導出する。
• 線形変換を中間的対称性クラスとして導入し、電流が四次元発散として保存されることを示す。
• ポincare、アフィン、一般座標対称性を順に分析し、局所性の増加に伴って電荷の表面積分表現がどのように導かれるかを追跡する。
• 二次理論における正準エネルギー運動量テンソルを導出し、バイアンキ恒等式を用いてそれが恒等的に保存されることを示す。
• ガウス型制約形式を用いて線形化重力理論における非物理的モードを除去し、電磁気学におけるクーロンゲージに類似した手法を用いる。
• ゲージ変換および座標変換の生成子をハミルトニアンの第一級制約に関連付け、二次的制約 $P + \tilde{P} = 0$ が計量の伝搬成分上で空間微分同相変換を生成することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ一般相対性理論におけるエネルギー運動量擬テンソルは恒等的に発散がゼロであるのに対し、特殊相対性理論におけるそれらはそうではないのか？
• RQ2 グローバルと局所ゲージ変換の間の中間的線形対称性の段階が物理的にどのような意味を持つのか？
• RQ3 一般共変性を満たす一次理論においてベルンファントのエネルギー運動量テンソルはどのように振る舞うのか？
• RQ4 制約付き系における局所対称性の生成子、保存電流、ハミルトニアン制約との関係は何か？
• RQ5 線形化重力理論において、すべての非伝搬モードを除去し、自由度を2つにまで削減できる完全に固定されたゲージを構成可能か？

主な発見

• 線形対称性は四次元発散として保存される電流を生じさせ、グローバルおよび局所保存則の間の橋渡しの役割を果たす。
• 一般共変性を満たす一次理論においてベルンファントのエネルギー運動量テンソルは恒等的にゼロであり、重力において非自明な保存電流が存在しないことを説明する。
• 二次理論における正準エネルギー運動量テンソルは、バイアンキ恒等式により恒等的に保存される。これはラグランジアンに二階微分が含まれる場合でも成立する。
• 局所対称性理論における電荷の表面積分表現（ネーターの第二定理）により、全電荷が時空体積に依存しないことが保証され、重力理論において重要な特徴である。
• 二次的制約 $P + \tilde{P} = 0$ は、計量の伝搬成分上で空間微分同相変換を生成し、ヤン・ミルズ理論におけるゲージ変換に類似している。
• 線形化極限において、$ \psi_{\mu\nu}$ の場の運動方程式は $ \Box\psi_{\alpha\beta} = -2\mathcal{T}_{\alpha\beta}$ に簡略化され、横波条件およびトレース条件の下で標準的手法と同等であることが確認される。