[論文レビュー] Noether's Theorems and Gauge Symmetries

Katherine Brading, Harvey R. Brown|ArXiv.org|Sep 8, 2000

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 10被引用数 77

ひとこと要約

この論文は、ゲージ理論におけるネーターの定理の役割を明確にし、第一および第二の定理を区別することで、局所的ゲージ対称性がグローバル対称性から得られる保存電流以外の追加の保存電流を生まないことを示している。アーベルおよび非アーベルゲージ理論の両方に対して一般の定理を導出し、保存電流が場の運動方程式とゲージ不変性の相互作用から生じることを強調している。主な結果は、特定の運動方程式を事前に仮定せずに、物質場とゲージ場のダイナミクスを結びつける「結合された運動方程式」の導出である。

ABSTRACT

Consideration of the Noether variational problem for any theory whose action is invariant under global and/or local gauge transformations leads to three distinct theorems. These include the familiar Noether theorem, but also two equally important but much less well-known results. We present, in a general form, all the main results relating to the Noether variational problem for gauge theories, and we show the relationships between them. These results hold for both Abelian and non-Abelian gauge theories.

研究の動機と目的

• 局所的ゲージ対称性がグローバル対称性から得られる保存量以外の追加の保存量を生まない理由について、広く見られる誤解を解消すること。
• 特に局所的対称性を有する場の理論において、ネーターの第一および第二の定理の明確な数学的・物理的違いを明確にすること。
• アーベルおよび非アーベル理論に適用可能な、グローバルおよび局所的ゲージ対称性の両方に対するネーターの変分問題の統一的で一般の定式化を提示すること。
• ゲージ不変性と運動方程式の相互作用から生じるが、しばしば見過ごされがちな重要な結果、特に「結合された運動方程式」を強調すること。
• 保存電流の構造と運動方程式が、事前にオイラー＝ラグランジュ方程式を仮定せずに、ゲージ不変性から導けることを示すこと。

提案手法

• 場の変換および時空座標の変換に対する作用の変動を分析することで、ネーターの変分問題を定式化し、ラグランジュ表現と境界項を含む一般恒等式を導出する。
• 作用の不変性の一般条件を導出：∑ᵢ[Ψ]ᵢδψᵢ ≡ −∑ᵢ∂ᵤCᵢᵘ、ここで Cᵢᵘ はラグランジアンの微分から構成された電流に類似た項である。
• 第一ネーター定理をグローバルゲージ対称性に適用し、グローバルU(1)対称性に関連する標準的な保存電流を回復する。
• 第二ネーター定理を局所的ゲージ対称性に適用し、不変性条件が保存電流ではなく運動方程式の間の恒等式を生じることを示す。
• 運動方程式が満たされていると仮定することで、「結合された運動方程式」(45) を導出し、物質電流 jₐᵘ が場の強度テンソル Fᵘᵘ の発散とバランスをとることを示す。これは特定のラグランジアン形を仮定しない。
• 保存電流 jₐᵘ = −∑ᵢ(∂L/∂(∂ᵤψᵢ))aₐᵢ がゲージ不変性と運動方程式から生じることを示し、この構造がすべてのゲージ理論に一般に成立することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ局所的ゲージ対称性が、グローバル対称性から得られる保存量以外の追加の保存電流を生まないのか、これは一般的な誤解とは対照的である。
• RQ2 ゲージ理論の文脈において、ネーターの第一および第二の定理の正確な数学的・物理的違いは何であるか。
• RQ3 特定の運動方程式やラグランジアン形を仮定せずに、物質電流とゲージ場ダイナミクスの関係をどのように導けるか。
• RQ4 ネーターの変分問題から導かれた「結合された運動方程式」(45) の意義は何か。また、これは保存ゲージ電流の保存とどのように関係しているか。
• RQ5 なぜ保存電流の導出がオイラー＝ラグランジュ方程式を事前に仮定しないで可能なのか。この点が、文献における誤解を解消する上でどのように寄与するか。

主な発見

• ネーターの第二定理により、局所的ゲージ対称性が運動方程式の間の恒等式を生じることを示し、グローバル対称性から得られる保存量以外の追加保存量が生じない理由を説明している。
• 保存電流 jₐᵘ = −∑ᵢ(∂L/∂(∂ᵤψᵢ))aₐᵢ はラグランジアンのゲージ不変性と運動方程式の満たされていることから導かれるが、電流の存在は事前に運動方程式を仮定する必要がない。
• 「結合された運動方程式」(45) は、ゲージ不変性と運動方程式の満たされていることから一般に導出され、物質電流 jₐᵘ が場の強度テンソル Fᵘᵘ の発散とバランスをとることを示しており、特定のラグランジアン形に依存しない。
• 式 (48)、jᵘ = ∂ᵤFᵘᵘ は、局所的U(1)ゲージ不変性と運動方程式の満たされていることの一般的結果であり、物質とゲージ場ダイナミクスの間の根本的なバランスを示している。
• ゲージ場の運動方程式を仮定しなくても、物質場の運動方程式が満たされていれば、保存電流の導出が成立することを示しており、ネーター電流構成の堅牢性を強調している。
• 本論文は、Al-KuwariとTaha（1991）の結果が、ネーターの第二定理を通じて最も適切に理解され、彼らの第二の式系—ゲージ不変性から電流を導出するのみ—が、最も重要な貢献であることを明確にしている。