[論文レビュー] Noether symmetries for charged particle motion under a magnetic monopole and general electric fields

Fernando Haas|ArXiv.org|Nov 17, 2002

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、磁気モノポールと一般の電場下での非相対論的荷電粒子運動のすべてのノネル点対称性を、電磁場に関する2つの結合された線形偏微分方程式の系を解くことによって導出する。固定された磁気モノポールの場合、この系を完全に解き、線形または二次の保存量をもたらす電場を特定し、時間に依存するモノポール・オシレーター系および定常磁場に時間に依存する調和的電場（駆動項付き）を含む系に結果を適用することで、場のパラメータに応じて12パラメータまたは8パラメータの対称性群が得られることを明らかにする。

ABSTRACT

The search for Noether point symmetries for non-relativistic charged particle motion is reduced to the solution for a set of two coupled, linear partial differential equations for the electromagnetic field. These equations are completely solved when the magnetic field is produced by a fixed magnetic monopole. The result is applied to central electric field cases, in particular to the time-dependent monopole-oscillator problem. As an additional example of the theory, we found all Noether point symmetries and invariants for a constant magnetic field and a time-dependent harmonic electric field with a forcing term.

研究の動機と目的

• 非相対論的荷電粒子運動における一般の電磁場下でのすべてのノネル点対称性を体系的に特定すること。特に磁気モノポールの場合に焦点を当てる。
• ノネル対称性の特定問題を、電磁場に関する2つの結合された線形偏微分方程式の系を解く問題に還元すること。
• 固定された磁気モノポールの磁場が与えられた場合、ノネル対称性を保つ電場のクラスを特定し、線形および二次の保存量の違いを区別すること。
• 一般形式を、時間に依存するモノポール・オシレーターおよび定常磁場に時間に依存する調和的電場（駆動項付き）を含む具体的な物理系に適用すること。
• 場のパrameterの制約に応じて12パラメータまたは8パラメータの対称性群が存在することを示し、対応する保存不変量を導出すること。

提案手法

• 電磁場下での非相対論的荷電粒子運動の作用汎関数を、ラグランジュ形式を用いて定式化する。
• ノネルの定理を適用する際、対称性生成子に沿ったラグランジュアンのリー微分が、全時間微分を含む特定の条件を満たす関数Fの存在を要求する。
• ノネル点対称性が存在するためには、電磁場が2つの結合された線形偏微分方程式（22）-（23）を満たす必要があることを導出する。
• 磁場が固定された磁気モノポールのものである場合、この系を完全に解き、速度に線形または二次の保存量をもたらす2つの電場クラスを特定する。
• 導出された対称性および不変量を用いて、運動方程式を統合し、特にモノポール・オシレーターおよび定常磁場に時間に依存する調和的電場を含む系のケースに適用する。
• 時間に依存する並進および回転対称性を用いて、速度を消去することで一般解を構成し、不変量を用いた明示的なパラメトリック解を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非相対論的荷電粒子運動におけるノネル点対称性の存在に必要な十分な条件は、電磁場に対してどのようなものか？
• RQ2 磁場が固定された磁気モノポールのものである場合、電磁場に関する2つの結合されたPDE系を完全にどのように解けるか？
• RQ3 磁気モノポールが存在する中で、ノネル対称性を保つ電場のクラスは何か？また、それらから生じる保存量の種類は何か？
• RQ4 定常磁場に時間に依存する調和的電場（駆動項付き）を含む場合、対称性構造および保存不変量はどのように変化するか？
• RQ5 定常磁場と時間に依存する調和的電場を含む系において、ノネル対称性群の構造は何か？具体的には、12パラメータまたは8パラメータの群が得られる条件は何か？

主な発見

• 磁場が固定された磁気モノポールのものである場合、電磁場に関する2つの結合された線形PDE（22）-（23）の系は完全に解かれ、適合する電場の明示的形が得られる。
• 磁気モノポールの場合、2つの電場クラスが特定された：1つは線形保存量（例：ポアンカレ・ベクトル）をもたらし、もう1つは二次保存量（例：オシレーター系におけるテンソル不変量）をもたらす。
• 時間に依存するモノポール・オシレーター系は、運動方程式の完全統合を可能にする保存量を有し、不変量から明示的なパラメトリック解が導出される。
• 定常磁場に時間に依存する調和的電場（駆動項付き）を含む系では、ノネル対称性群は、周波数条件 ω∥² = ω⊥² + B₀²/4 が満たされるかどうかに応じて12パラメータまたは8パラメータの群となる。
• 12パラメータ群には、時間並進、6つの時間に依存する空間並進、およびz軸まわりの回転対称性が含まれる。8パラメータ群は、周波数の不一致により回転対称性が欠落している。
• 導出された不変量 I₁ から I₁₂ は、運動方程式の一般解を再構成するのに十分であり、x(t)、y(t)、z(t) の明示的表現が不変量を用いて与えられる。