[論文レビュー] Noise Induced Dissipation in Discrete Time Dynamical Systems

Albert Fannjiang, Lech Wołowski|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2002

Chaos control and synchronization参考文献 11被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、d次元トーラス上でのガウス分布またはアルファ安定分布ノイズによって摂動を受ける離散時間力学系における散逸時間スケールを分析する。非エルゴード写像はO(1/ε)の散逸時間を示すが、エルゴード的トーラス自己同型（例えば猫写像）はO(ln(1/ε))の散逸時間を示し、その定数は次元平均エントロピーに結びついており、その背後にある算術最適化問題を解くためにディオファントス近似が用いられる。

ABSTRACT

We consider dissipative systems resulting from the Gaussian and alpha-stable noise perturbations of measure-preserving maps on the d dimensional torus. We study the dissipation time scale and its physical implications as the noise level ε vanishes. We show that nonergodic maps give rise to an O(1/ε) dissipation time whereas ergodic toral automorphisms, including cat maps and their d-dimensional generalizations, have an O(ln (1/ε)) dissipation time with a constant related to the dimensionally averaged entropy of the automorphisms. Our approach reduces the calculation of the dissipation time to a nonlinear, arithmetic optimization problem which is solved asymptotically by means of some fundamental theorems in Diophantine approximations. 1

研究の動機と目的

• 測度保存写像としてのd次元トーラス上でのノイズ摂動が散逸時間スケールに与える影響を理解すること。
• ガウス分布およびアルファ安定分布ノイズ下での非エルゴード的写像とエルゴード的トーラス自己同型の間の散逸行動の違いを特定すること。
• ノイズレベルεが0に近づく際の散逸時間の漸近的表現を導出すること。
• 散逸時間の計算を、ディオファントス近似に基づく非線形算術最適化問題に還元すること。
• エルゴード的自己同型の散逸時間と次元平均エントロピーとの関係を確立すること。

提案手法

• 系をガウス分布またはアルファ安定分布ノイズによって摂動を受けるd次元トーラス上の測度保存写像としてモデル化する。
• 散逸時間を、ノイズ下での初期条件の記憶を失うまでの期待時間を定義する。
• 軌道のディオファントス近似を含む非線形算術最適化問題に問題を還元する。
• ディオファントス近似理論における基本定理を適用し、最適化問題を漸近的に解く。
• エントロピーに基づく不変量を用いて、エルゴード的自己同型の散逸時間を特徴付ける。
• 散逸時間の漸近的スケーリング則をノイズレベルεの関数として導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非エルゴード的写像において、ノイズ摂動下での散逸時間はノイズレベルεとどのようにスケーリングするか？
• RQ2 猫写像などのエルゴード的トーラス自己同型において、ノイズ下での漸近的散逸時間スケーリングは何か？
• RQ3 エルゴード的状況下で、散逸時間は自己同型の次元平均エントロピーとどのように関係するか？
• RQ4 ディオファントス近似の性質は、散逸時間の決定にどのような役割を果たすか？
• RQ5 散逸時間の計算は、解ける算術最適化問題に還元可能か？

主な発見

• 非エルゴード的写像は、ノイズレベルεが0に近づく際、O(1/ε)の散逸時間を示す。
• 猫写像およびそのd次元拡張を含むエルゴード的トーラス自己同型は、O(ln(1/ε))の散逸時間を示す。
• O(ln(1/ε))スケーリングにおける定数は、自己同型の次元平均エントロピーに明示的に関連している。
• 散逸時間の計算は、ディオファントス近似を含む非線形算術最適化問題に還元される。
• ディオファントス近似理論における深い定理を用いて、最適化問題の漸近的解が導出された。
• 結果は、ノイズ下での非エルゴード的およびエルゴード的系における散逸行動の根本的差異を示している。