[論文レビュー] Noise induced dissipation in Lebesgue-measure preserving maps on $d-$dimensional torus

Albert Fannjiang, Lech Wołowski|ArXiv.org|Sep 18, 2002

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、d次元トーラス上のルベーグ測度を保存する写像におけるノイズ誘発散乱を調査し、非エルゴード的写像はε → 0のときO(1/ε)の散乱時間、エルゴード的トーラス自己同型（例えばキャット写像）はO(ln(1/ε))の散乱時間であることを示している。この定数は、既約ブロックにわたる次元平均化されたエントロピーの最小値に関連している。解析は、凸性、ディオファントス近似、および算術的等差数列定理を用いて、問題を算術的最適化フレームワークに還元する。

ABSTRACT

We consider dissipative systems resulting from the Gaussian and $alpha$-stable noise perturbations of measure-preserving maps on the $d$ dimensional torus. We study the dissipation time scale and its physical implications as the noise level $\vep$ vanishes. We show that nonergodic maps give rise to an $O(1/\vep)$ dissipation time whereas ergodic toral automorphisms, including cat maps and their $d$-dimensional generalizations, have an $O(\ln{(1/\vep)})$ dissipation time with a constant related to the minimal, {\em dimensionally averaged entropy} among the automorphism's irreducible blocks. Our approach reduces the calculation of the dissipation time to a nonlinear, arithmetic optimization problem which is solved asymptotically by means of some fundamental theorems in theories of convexity, Diophantine approximation and arithmetic progression. We show that the same asymptotic can be reproduced by degenerate noises as well as mere coarse-graining. We also discuss the implication of the dissipation time in kinematic dynamo.

研究の動機と目的

• 保守的で測度保存的な力学系のd次元トーラス上におけるノイズがどのように不可逆性と散乱を引き起こすかを理解すること。
• ノイズレベルεと基本的な写像のエルゴード的性質に応じた散乱時間スケールを関数として特徴付けること。
• 散乱時間とエントロピー、およびトーラス自己同型における既約ブロック構造といった力学的不変量との間の明示的漸近的関係を確立すること。
• 同じ散乱時間スケールが、ガウス的またはα安定的ノイズだけでなく、退化したノイズおよび粗粒度化手続きに対しても成立することを示すこと。

提案手法

• ベース写像Fのコプロイマン作用素UFと、フーリエ空間におけるα安定ノイズカーネルGε,αの合成作用素Tε,α = Gε,α ∘ UFを用いて、ノイズ付きダイナミクスを形式化する。
• 散乱時間ndissを、‖Tⁿε,α‖ < 1/eを満たす最小のnとして定義し、L²ノルムの著しい減衰の開始を捉える。
• ndissの推定問題を、ディオファントス近似と格子点分布を含む非線形算術最適化問題に還元する。
• 凸解析および算術的等差数列理論の基本定理を用いて、この最適化問題を漸近的に解く。
• トーラス自己同型のスペクトル分解とブロック対角化を用いて既約成分を分離し、最小エントロピー寄与を計算する。
• 散乱時間スケールとエントロピー、特性多項式の既約性といった力学的不変量との間の同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非エルゴード的測度保存写像におけるd次元トーラス上での散乱時間は、ノイズレベルεにどのように依存するか？
• RQ2 特にスペクトル的・算術的構造に照らして、エルゴード的トーラス自己同型の散乱時間は何かによって決定されるか？
• RQ3 完全な確率的摂動ではなく、退化したノイズや粗粒度化を用いても、散乱時間スケールは再現可能か？
• RQ4 トーラス自己同型の既約ブロックにわたる最小次元平均エントロピーと散乱時間はどのように関係するか？

主な発見

• d次元トーラス上の非エルゴード的写像は、ε → 0のときO(1/ε)の散乱時間スケールを示す。
• キャット写像やそのd次元一般化を含むエルゴード的トーラス自己同型は、O(ln(1/ε))の散乱時間スケールを示す。
• O(ln(1/ε))スケールにおける定数は、自己同型の既約ブロックにわたる最小の次元平均エントロピーによって決定される。
• 同じ漸近的散乱時間スケールは、退化したノイズおよび粗粒度化に対しても再現可能であり、結果の頑健性を示している。
• ディオファントス近似および算術的等差数列定理を介して、散乱時間は自己同型の特性多項式の既約性と関連している。
• 解析により、散乱時間は、保存的系でさえも確率的摂動下での力学的不安定性の頑健な指標であることが確認された。