[論文レビュー] Noisy Decoding by Shallow Circuits with Parities: Classical and Quantum (Extended Abstract)

Jop Briët, Harry Buhrman+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、古典的NC0[⊕]回路—パリティゲートを備えた浅い回路—が、正の誤り率を持つ通信路において、任意のエラー訂正符号について、受信コドワードからのメッセージのうち僅かにしか復元できないことを確立している。これに対して、量子QNC0[⊕]回路は、(1/2 − ε)の敵対的破壊を受けても、ハダマード符号の復号にΩ(ε²)の定常的成否確率を達成でき、浅い回路におけるノイズのある復号において量子的優位性を示している。

ABSTRACT

We consider the problem of decoding corrupted error correcting codes with NC$^0[\oplus]$ circuits in the classical and quantum settings. We show that any such classical circuit can correctly recover only a vanishingly small fraction of messages, if the codewords are sent over a noisy channel with positive error rate. Previously this was known only for linear codes with large dual distance, whereas our result applies to any code. By contrast, we give a simple quantum circuit that correctly decodes the Hadamard code with probability $Ω(\varepsilon^2)$ even if a $(1/2 - \varepsilon)$-fraction of a codeword is adversarially corrupted. Our classical hardness result is based on an equidistribution phenomenon for multivariate polynomials over a finite field under biased input-distributions. This is proved using a structure-versus-randomness strategy based on a new notion of rank for high-dimensional polynomial maps that may be of independent interest. Our quantum circuit is inspired by a non-local version of the Bernstein-Vazirani problem, a technique to generate ``poor man's cat states'' by Watts et al., and a constant-depth quantum circuit for the OR function by Takahashi and Tani.

研究の動機と目的

• ノイズのある通信路における古典的および量子的浅い回路がエラー訂正符号を復号する際の根本的限界を特定すること。
• ノイズが存在する中で、NC0[⊕]回路が、消え去るような少数のメッセージを除き、いかなる符号も復号可能かどうかを解明すること。
• 高誤り率下でも非負の確率で成功する定数深さの量子回路を構築することで、復号における明示的な量子的優位性を示すこと。
• 偏りのある分布下での有限体上の多変数多項式の解析に向けた、新たなランクに基づく構造対ランダムネスフレームワークの構築。

提案手法

• 高次元多項式写像の新しいランクの概念を導入し、偏りのある入力分布下での多変数多項式の等分布現象を証明した。
• 構造対ランダムネス戦略を用いて、対称的ノイズと正のバイアス下で、任意のNC0[⊕]回路が、破損したコドワードから復元可能なメッセージの割合が無視できるほど小さいことを示した。
• 非局所的ベルンシュタイン＝ヴァジラーニプロトコルと定数深さの量子OR回路に基づく、定数深さの量子回路を構築し、(1/2 − ε)の敵対的破壊下でハダマール符号をΩ(ε²)の確率で復号した。
• リスト復号回路への量子オракルアクセスを活用し、量子OR回路と等価性テスト回路を用いて、IsBalt問題を高い確率で解いた。
• チェルノフの不等式と和集合の不等式を適用し、量子復号回路の成否確率を増幅し、誤差を低減した。
• 復号問題を、与えられた約束問題（IsBalt）に還元し、回路合成を用いて多項式的誤差O(n−1/8)でMAJORITY関数を計算する量子多数決回路を構築した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 通信路が正の誤り率を持つ場合、古典的NC0[⊕]回路は、非ゼロの成否確率でいかなるエラー訂正符号も復号可能か？
• RQ2 浅い古典的回路にパリティゲートが存在する場合、AC0回路より非自明な復号が可能になるか？
• RQ3 敵対的破壊が(1/2 − ε)の割合まで許容される場合、量子回路QNC0[⊕]はハダマール符号の復号において定常的成否確率を達成可能か？
• RQ4 偏りのある入力下での有限体上の多変数多項式のどのような構造的性質が、古典的回路の限界の解析を可能にするか？
• RQ5 回路の深さが定数であっても、高ノイズ下で復号において明示的な量子的優位性が存在するか？

主な発見

• 通信路が正の誤り率を持つ限り、いかなる符号を用いても、古典的NC0[⊕]回路は破損コドワードからのメッセージのうち僅かにしか復元できない。
• 量子回路は、(1/2 − ε)の敵対的破壊下でも、ハダマール符号の復号にΩ(ε²)の成否確率を達成する。
• 偏りのある入力下での等分布の証明に用いられた、高次元多項式写像の新しいランクの概念が導入され、古典的困難性の結果を導く基盤となった。
• ハダマール符号の復号のための量子回路は、量子オラクルアクセス、非局所的ベルンシュタイン＝ヴァジラーニプロトコル、定数深さの量子OR回路に基づいて構築された。
• この構築により、入力サイズt = ⌊n^{1/8}⌋の下で誤差O(n−1/8)のQNC0[⊕]回路がMAJORITY関数を計算可能となった。
• この結果は、ノイズのある復号という文脈において、古典的および量子的浅い回路の間で明示的な分離を確立し、この文脈での量子的優位性を示している。