[論文レビュー] Noisy threshold in neuronal models: connections with the noisy leaky integrate-and-fire model

Grégory Dumont, Jacques Henry+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2015

Neural dynamics and brain function参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、吸収境界を伴うFokker-Planck（FP）方程式に従うノイズあり漏れ積分・発火（NLIF）モデルと、時間に依存するしきい値ノイズを有する年齢構造化（AS）放出レートモデルとの間を結ぶ明示的な積分変換を確立する。この変換は、最後のスパイクからの経過時間によって再閾値状態を記述するAS系の解を、FP方程式の解へと写像し、生存関数とベイズの定理に基づく数学的同等性を明らかにする。変換のカーネルは、年齢aが与えられたときの膜電位vの条件付き確率を表す。

ABSTRACT

Providing an analytical treatment to the stochastic feature of neurons' dynamics is one of the current biggest challenges in mathematical biology. The noisy leaky integrate-and-fire model and its associated Fokker-Planck equation are probably the most popular way to deal with neural variability. Another well-known formalism is the escape-rate model: a model giving the probability that a neuron fires at a certain time knowing the time elapsed since its last action potential. This model leads to a so-called age-structured system, a partial differential equation with non-local boundary condition famous in the field of population dynamics, where the {\it age} of a neuron is the amount of time passed by since its previous spike. In this theoretical paper, we investigate the mathematical connection between the two formalisms. We shall derive an integral transform of the solution to the age-structured model into the solution of the Fokker-Planck equation. This integral transform highlights the link between the two stochastic processes. As far as we know, an explicit mathematical correspondence between the two solutions has not been introduced until now.

研究の動機と目的

• ノイズあり漏れ積分・発火（NLIF）モデルと年齢構造化（AS）放出レートモデルという、神経の確率的性質を記述する2つの代表的形式の間の厳密な数学的関係を確立すること。
• NLIFモデルのFokker-Planck（FP）方程式の解と、最後のスパイクからの経過時間によって再閾値状態を記述するAS系の解との間の長年の明示的リンクの欠落を解消すること。
• ベイズの定理を用いた確率論的解釈を通じて、変換のカーネルが、年齢aが与えられたときの膜電位vの条件付き確率P(v|a)に相当することを示すこと。
• 逆変換の可能性を検討し、時間に依存するカーネルと初期密度の整合性条件が必要であることを特定する。平衡状態の仮定により、近似的な逆変換が可能になること。

提案手法

• 年齢aの関数として再閾値密度を記述する年齢構造化（AS）偏微分方程式の解を、NLIFモデルのFokker-Planck（FP）方程式の解へ写像する積分変換を導出する。
• 再生理論における生存関数g(t)を、変換カーネルの主要構成要素として用い、生存確率としきい値通過時間とを結ぶ。
• ベイズの定理を適用し、変換カーネルP(v|a)を、神経の年齢aが与えられたときの膜電位vの条件付き確率として解釈する。時間不変のダイナミクスは年齢変数に埋め込まれている。
• 平衡状態の仮定の下で、定常分布p∞(v)とn∞(a)を用いて、P(a|v)の時間不変版を定義する逆変換の候補を構築する。
• Euler-Maruyama法とGillespieに類似たシミュレーションを用いて数値的に同等性を確認し、同一パラメータ設定下で両モデルが同一の発火時刻分布を示すことを示す。
• 変換によって生成される解の集合が、t → ∞ においてアトラクタ集合を形成することを確立し、両モデル間の長期的整合性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノイズあり漏れ積分・発火モデルにおけるFokker-Planck方程式の解と、放出レートモデルにおける年齢構造化系の解との間に、明示的な数学的対応を確立できるか？
• RQ2 両モデルを結ぶ積分変換の確率的解釈は何か？また、条件付き確率と生存関数とはどのように関係するか？
• RQ3 FP解からAS解への逆変換を構築することは可能か？そのような逆変換に必要な制約や仮定は何か？
• RQ4 FP系とAS系の初期条件はどのように関係し、変換が一貫するためにはどのような整合性条件を満たす必要があるか？
• RQ5 平衡分布が近似的な逆変換を可能にする役割を果たすメカニズムは何か？また、これは最大エントロピー仮定とどのように関連するか？

主な発見

• 年齢構造化（AS）系の解は、膜電位vが年齢aである条件のもとでの条件付き確率P(v|a)を表す明示的な積分変換を介して、Fokker-Planck（FP）方程式の解へ写像可能である。
• 変換は再生理論と生存関数に基づくものであり、年齢変数がすべての必要な時間的情報を符号化しているため、カーネルは時間不変である。
• FP解がt → ∞ において、変換されたAS解のアトラクタであることが示され、両モデル間の長期的力学的整合性が裏付けられる。
• 平衡状態の仮定の下で、定常分布p∞(v)とn∞(a)を用いて、近似的な逆変換が構築可能であり、長期的には双方向マッピングが可能になる。
• 数値的シミュレーションにより、パラメータを一致させた場合、両モデルが同一の発火時刻分布を生成することが確認され、理論的同等性が検証された。
• 本研究により、ASモデルが年齢変数を通じて最後のスパイク時刻に関する隠れた情報を保持していることが判明したが、これはFPモデルには明示的に存在しない。このため、完全な逆変換には整合性条件が必要となる。