[論文レビュー] Non-Abelian Anyons and Topological Quantum Computation

Chetan Nayak, Steven H. Simon+3 more|Jul 12, 2007

Quantum and electron transport phenomena被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、トポロジカルな量子ホール状態、特に $ν=5/2$ の分数量子ホール効果状態における非アーベル任意粒子を、誤り耐性のある量子計算のプラットフォームとして提案する。非アーベル統計に従う準粒子を編むことで、局所的な誤りに対して強い非局所的な任意粒子状態に量子情報を符号化し、トポロジカルに量子ゲートを実装する。主な貢献は、トポロジカル秩序、 conformal field theory（CFT）、および任意粒子（例：フィボナッチ任意粒子）を介した普遍的量子計算を結びつける理論的枠組みを確立することにある。

ABSTRACT

Topological quantum computation has recently emerged as one of the most exciting approaches to constructing a fault-tolerant quantum computer. The proposal relies on the existence of topological states of matter whose quasiparticle excitations are neither bosons nor fermions, but are particles known as {\it Non-Abelian anyons}, meaning that they obey {\it non-Abelian braiding statistics}. Quantum information is stored in states with multiple quasiparticles, which have a topological degeneracy. The unitary gate operations which are necessary for quantum computation are carried out by braiding quasiparticles, and then measuring the multi-quasiparticle states. The fault-tolerance of a topological quantum computer arises from the non-local encoding of the states of the quasiparticles, which makes them immune to errors caused by local perturbations. To date, the only such topological states thought to have been found in nature are fractional quantum Hall states, most prominently the ν=5/2 state, although several other prospective candidates have been proposed in systems as disparate as ultra-cold atoms in optical lattices and thin film superconductors. In this review article, we describe current research in this field, focusing on the general theoretical concepts of non-Abelian statistics as it relates to topological quantum computation, on understanding non-Abelian quantum Hall states, on proposed experiments to detect non-Abelian anyons, and on proposed architectures for a topological quantum computer. We address both the mathematical underpinnings of topological quantum computation and the physics of the subject using the ν=5/2 fractional quantum Hall state as the archetype of a non-Abelian topological state enabling fault-tolerant quantum computation.

研究の動機と目的

• トポロジカルな物質の相における非アーベル任意粒子を用いたトポロジカル量子計算の理論的基盤を確立すること。
• 非アーベル編む統計が、トポロジカルに degenerate（簡約）な状態を介して、誤り耐性のある量子ゲートを実現する方法を説明すること。
• 特に $ν=5/2$ 分数量子ホール効果状態を含む、非アーベル任意粒子が存在すると考えられる物理的系を特定し、分析すること。
• トポロジカル量子計算を conformal field theory（CFT）および Chern-Simons 有効場理論と結びつけることで、数学的整合性を確保すること。
• 非アーベル任意粒子の検出およびスケーラブルなトポロジカル量子コンピュータの構築に関する実験的提案を提示すること。

提案手法

• Chern-Simons 場理論およびトポロジカル量子場理論（TQFT）を用いて、非アーベル任意粒子の低エネルギー有効理論を記述する。
• 特にイジング CFT を用いて、任意粒子の編む統計を記述する多点相関関数を計算する。
• 融合則と F-行列を用いて、任意粒子系のヒルベルト空間の構造を記述し、異なる融合基底の関係を明らかにする。
• Bratteli 図を用いて、 conformal block の数を数え、複数の任意粒子に対するヒルベルト空間の次元を決定する。
• CFT の頂点演算子から、分数量子ホール状態の波動関数を導出し、中性条件の下で $\langle e^{i\alpha_i\phi}(z_i)\rangle \propto \prod_{i<j} (z_i - z_j)^{\alpha_i\alpha_j}$ のように表す。
• 相関関数のモノドロミー変換を編む操作の下で分析し、ユニタリな braid 群表現を抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非アーベル任意粒子はどのようにトポロジカルな物質の相に現れ、その編む統計は何か？
• RQ2 $ν=5/2$ 分数量子ホール効果状態は非アーベル任意粒子を有する可能性があり、実験的にどのように確認できるか？
• RQ3 どのようにして任意粒子の編む操作を用いてトポロジカル量子計算を実現できるか？ また、それがなぜ誤り耐性を持つのか？
• RQ4 conformal field theory は、波動関数の構成と任意粒子統計の計算において果たす役割は何か？
• RQ5 フィボナッチ任意粒子のような非アーベル任意粒子は、単独の編む操作によって普遍的量子ゲート集合を提供できるか？

主な発見

• $ν=5/2$ 分数量子ホール効果状態は、イジング型の任意粒子を有する Moore-Read Pfaffian 状態として、非アーベル任意粒子を実現する有力な候補である。
• 非アーベル編む統計は、conformal field theory の多点相関関数に符号化されており、例として $\langle\sigma(0)\sigma(z)\sigma(1)\sigma(w)\rangle$ のような関数は分岐カットとモノドロミーを示す。
• $z=1$ の周りを時計回りに1周するモノドロミー変換により、ユニタリ変換 $\begin{pmatrix} a_+ \\ a_- \end{pmatrix} \to e^{2\pi i/8} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_+ \\ a_- \end{pmatrix}$ が誘導され、非アーベルブレイン行列が実現される。
• 相関関数における conformal block の数は、トポロジカルに異なる融合チャネルの数に一致し、Bratteli 図を用いて数えられる。
• $F$-行列は、異なる融合基底間のユニタリ変換を提供し、異なる計算基底における編む操作の表現に不可欠である。
• $χ_3$ Chern-Simons 理論に由来するフィボナッチ任意粒子は、編む操作のみで普遍的量子ゲート集合を提供し、普遍的トポロジカル量子計算を可能にする。