[論文レビュー] Non-Abelian Berry Phase Calculations in the Kitaev Honeycomb Model

Ahmet Tuna Bolukbasi, Jiří Vala|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2011

Topological Materials and Phenomena被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、ジョルダン＝ウィグナー型のフェルミオン化から導かれた正確な有効スピン・ハードコアボソン表現を用いて、キタエフヘキサゴン格子模型における非アーベル Berry位相を高精度で計算する手法を提示する。4つの渦の編み込みシミュレーションでは、数値誤差が $10^{-5}$ 未満に抑えられ、有効場理論の予測と非常に良好に一致し、渦間距離の増加に伴い誤差が指数関数的に減少することが示された。

ABSTRACT

We develop a rigorous and highly accurate technique for calculation of the Berry phase in systems with a quadratic Hamiltonian within the context of the Kitaev honeycomb lattice model. The method is based on the recently found solution of the model which uses the Jordan-Wigner-type fermionization in an exact effective spin-hardcore boson representation. We specifically simulate the braiding of two non-Abelian vortices (anyons) in a four vortex system characterized by a two-fold degenerate ground state. The result of the braiding is the non-Abelian Berry matrix which is in excellent agreement with the predictions of the effective field theory. The most precise results of our simulation are characterized by an error on the order of $10^{-5}$ or lower. We observe exponential decay of the error with the distance between vortices, studied in the range from one to nine plaquettes. We also study its correlation with the involved energy gaps and provide preliminary analysis of the relevant adiabaticity conditions. The work allows to investigate the Berry phase in other lattice models including the Yao-Kivelson model and particularly the square-octagon model. It also opens the possibility of studying the Berry phase under non-adiabatic and other effects which may constitute important sources of errors in topological quantum computation.

研究の動機と目的

• キタエフヘキサゴン格子模型内における二次形式ハミルトニアン系の Berry 位相を厳密かつ高精度に計算するための手法を開発すること。
• 2重にデゲネレートした基底状態を持つ4渦系における2つの非アーベル的渦の編み込みをシミュレートすること。
• 計算された非アーベル Berry 行列が有効場理論の予測と一致するかを検証すること。
• 数値誤差が渦間隔およびエネルギーギャップにどのように依存するかを分析すること。
• 他の格子模型や非断熱的条件下における Berry 位相の研究のための基盤的ツールを確立すること。

提案手法

• 本手法は、ジョルダン＝ウィグナー型フェルミオン化から導かれた正確な有効スピン・ハードコアボソン表現を用い、キタエフ模型の二次形式ハミルトニアンを正確に取り扱えるようにする。
• シミュレーションは、2重にデゲネレートした基底状態を持つ4渦構成を対象とし、非アーベル的 anyonic 統計を捉える。
• 渦の編み込みに伴う系の基底状態の断熱的発展を用いて Berry 位相を計算し、数値的に正確な固有値分解技術を用いる。
• 渦間距離を1から9個のプラケットに変化させることで誤差解析を実施し、数値誤差が指数関数的に減少することが観測された。
• 断熱性の条件を評価し、信頼性のある位相蓄積を保証するため、エネルギーギャップ解析を組み込む。
• 本手法は、将来的な Berry 位相研究の対象として、ヤオ＝キベルソン模型やスクエア・オクタゴン模型を含む他のモデルへも一般化可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正確なフェルミオン化手法を用いた場合、キタエフヘキサゴン格子模型における非アーベル Berry 位相はどの程度の精度で計算可能か？
• RQ2 4渦系における非アーベル的渦間の距離に伴う数値誤差の依存性は何か？
• RQ3 シミュレートされた非アーベル Berry 行列は、有効場理論の予測とどの程度一致するか？
• RQ4 エネルギーギャップは、編み込みプロセスの断熱性を決定づける役割を果たすか？
• RQ5 本手法は、非断熱的効果およびトポロジカル量子計算におけるその影響を調査するのにも応用可能か？

主な発見

• シミュレーションは、$10^{-5}$ 以下のオーダーの数値精度を達成し、非アーベル Berry 行列の計算において優れた正確性を示した。
• 数値誤差は、渦間距離の増加に伴い指数関数的に減少し、1から9個のプラケットの範囲で観測された。
• 計算された非アーベル Berry 行列は、有効場理論からの理論的予測と非常に良好に一致した。
• エネルギーギャップ構造は、観測された誤差減少と強く相関しており、より大きなギャップがより正確な断熱的発展を支えることを示唆している。
• 本手法は、ヤオ＝キベルソン模型やスクエア・オクタゴン模型を含む他の格子模型における Berry 位相の研究のための信頼できるフレームワークを提供する。
• 本手法は、トポロジカル量子計算における主要な誤差源である非断熱的効果の未来の調査を可能にする。