[論文レビュー] Non Abelian Berry Phase in Noncommutative Quantum Mechanics

Alain Bérard, Hervé Mohrbach|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2004

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ディラック方程式の断熱的時間発展を分析することで、非可換量子力学における非アーベルベリー位相を導出している。その結果、位置演算子に非アーベルゲージ接続に起因する異常な寄与が生じ、座標の非可換性が生じることが明らかになった。この非可換性は、スピンホール効果やマグヌス効果に類似したトポロジカルスピン輸送を引き起こし、電場中における非相対論的粒子や重力場中における光子の新しい力学的挙動を予測する。

ABSTRACT

We consider the adiabatic evolution of the Dirac equation in order to compute its Berry curvature in momentum space. It is found that the position operator acquires an anomalous contribution due to the non Abelian Berry gauge connection rendering the quantum mechanic algebra noncommutative. A generalization to any known spinning particles is possible by using the Bargmann-Wigner equation of motions. The noncommutativity of the coordinates is responsible of the topological spin transport of spinning particle similarly to the spin Hall effect in spintronic physics or the Magnus effect in optics. As an application we predict new dynamics for nonrelativistic particles in an electric field and for photons in a gravitational field.

研究の動機と目的

• 非可換量子力学における非アーベルベリー幾何学の役割を調査すること。
• ディラック方程式の断熱的時間発展が位置演算子に異常寄与をもたらす仕組みを特定すること。
• バーグマン＝ヴァイナー方程式を用いて、結果をスピンを持つ粒子に一般化すること。
• 座標の非可換性がトポロジカルスピン輸送に与える物理的影響を明らかにすること。
• 非相対論的粒子が電場中で、光子が重力場中で示す新しい力学的挙動を予測すること。

提案手法

• 運動量空間におけるディラック方程式の断熱的時間発展を分析し、ベリー曲率を計算する。
• 非アーベルベリーゲージ接続に起因する位置演算子への異常寄与を導出する。
• 運動方程式としてのバーグマン＝ヴァイナー方程式を用いて、任意のスピンを持つ粒子への形式の拡張を行う。
• 座標の非可換性とトポロジカルスピン輸送機構との関係を確立する。
• 外部場（特に電場および重力場）における新規力学的挙動を予測するためのフレームワークを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非アーベルベリーゲージ接続は、運動量空間における量子力学的代数をどのように変更するか？
• RQ2 この枠組みにおいて、位置演算子に生じる異常寄与の起源は何か？
• RQ3 座標の非可換性は、スピンを持つ粒子においてどのようにトポロジカルスピン輸送を引き起こすか？
• RQ4 予測は非相対論的粒子が電場中にある場合にどのように一般化されるか？
• RQ5 この非アーベル非可換構造下で、重力場中における光子にどのような新規力学的挙動が生じるか？

主な発見

• 非アーベルベリーゲージ接続は、位置演算子への異常寄与を通じて、量子力学的代数に非可換構造を誘導する。
• 座標の非可換性は、運動量空間におけるディラック方程式の断熱的時間発展から自然に生じる。
• 得られる非可換性は、スピンホール効果やマグヌス効果に類似したトポロジカルスピン輸送を直接的に引き起こす。
• バーグマン＝ヴァイナー方程式の運動方程式を用いることで、任意のスピンを持つ粒子への形式の一般化が可能である。
• この非アーベル非可換構造のおかげで、電場中における非相対論的粒子および重力場中における光子の新しい力学的挙動が予測される。