[論文レビュー] Non-abelian extensions of infinite-dimensional Lie groups

Karl‐Hermann Neeb|ArXiv.org|Apr 14, 2005

Advanced Algebra and Geometry参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、局所凸空間に台を持つ無限次元リー群の非アーベル拡張を分類するためのコhomological枠組みを構築する。滑らかな外部作用 $ S $ による拡張は、第二の滑らかコホモロジー群 $ H^{2}_{ss}(G,Z(N))_S $ 上の主同次空間を形成し、その拡張の存在を決定する障害類 $ \chi(S) \in H^{3}_{ss}(G,Z(N))_S $ が消えることと同値であることが示された。

ABSTRACT

In this paper we study non-abelian extensions of a Lie group $G$ modeled on a locally convex space by a Lie group $N$. The equivalence classes of such extension are grouped into those corresponding to a class of so-called smooth outer actions $S$ of $G$ on $N$. If $S$ is given, we show that the corresponding set $\Ext(G,N)_S$ of extension classes is a principal homogeneous space of the locally smooth cohomology group $H^2_{ss}(G,Z(N))_S$. To each $S$ a locally smooth obstruction class $χ(S)$ in a suitably defined cohomology group $H^3_{ss}(G,Z(N))_S$ is defined. It vanishes if and only if there is a corresponding extension of $G$ by $N$. A central point is that we reduce many problems concerning extensions by non-abelian groups to questions on extensions by abelian groups, which have been dealt with in previous work. An important tool is a Lie theoretic concept of a smooth crossed module $α: H o G$, which we view as a central extension of a normal subgroup of $G$.

研究の動機と目的

• 局所凸空間に台を持つリー群の非アーベル拡張を分類すること。
• アーベルおよび中心的拡張に対するコホモロジー的手法を非アーベル設定へと拡張すること。
• 拡張類を分類する滑らかな外部作用および関連コホモロジー群を定義すること。
• 拡張の存在を決定する障害類が消える条件を確立すること。
• 非アーベル問題をコホモロジーを用いてアーベル問題に還元すること。

提案手法

• 恒等元の近傍で滑らかさ条件を満たす $ S: G \to \mathrm{Aut}(N) $ を満たす滑らかな外部作用 $ S $ を導入する。
• 群の乗法を記述する2次チェイン $ \omega: G \times G \to N $ を定義し、ねじれコサイクル条件を満たすようにする。
• $ N \times G $ の群構造を $ (n,g)(n',g') = (n S(g)(n') \omega(g,g'), gg') $ により構成し、滑らかさおよびリー群構造を保証する。
• $ G $ の恒等元近傍での滑らかさ条件を満たす $ Z(N) $-値チェインを用いて、滑らかな群コホモロジー $ H^{k}_{ss}(G,Z(N))_S $ を定義する。
• 特徴的障害類 $ \chi(S) \in H^{3}_{ss}(G,Z(N))_S $ を導入し、これが0であることはかつては拡張が存在することと同値である。
• 中心的拡張をモデル化し、作用およびコサイクルを介して群拡張と関連付けるために、滑らかな交叉モジュール $ \alpha: H \to G $ の概念を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな外部作用 $ S: G \to \mathrm{Aut}(N) $ がリー群拡張 $ N \to \widehat{G} \to G $ に引き上げられる条件は何か？
• RQ2 このような拡張の同値類の集合はどのようにパrameter化できるか？
• RQ3 $ H^{3}_{ss}(G,Z(N))_S $ の役割は、拡張の存在を決定する上で果たすか？
• RQ4 非アーベル拡張はどのようにコホモロジー的技法を用いてアーベル問題に還元できるか？
• RQ5 $ S $ および $ \omega $ にどのような滑らかさ条件を課すと、$ N \times G $ がリー群構造をもつようになるか？

主な発見

• $ S $ に対応する拡張の集合 $ \mathrm{Ext}(G,N)_S $ は、$ H^{2}_{ss}(G,Z(N))_S $ 上の主同次空間である。これは、同値類による分類がこのコホモロジー群によって決定されることを意味する。
• 障害類 $ \chi(S) \in H^{3}_{ss}(G,Z(N))_S $ が存在し、それが0であることはかつては $ S $ に対応する拡張が存在することと同値である。
• 作用 $ S $ および2次チェイン $ \omega $ の滑らかさは、$ G $ の恒等元の近傍でのみ要求されるため、局所から大域への滑らかなリー群構造への埋め込みが可能である。
• $ Z(N) $ がリー群でなくてもよい。コホモロジーは $ N $-値関数の滑らかさ条件に基づいて定義されるが、$ Z(N) $ 自体の滑らかさではない。
• 滑らかな交叉モジュール $ \alpha: H \to G $ は、中心的拡張をモデル化するための枠組みを提供し、それらを作用およびコサイクルと関連付ける。
• 連結な $ G $ に対して、$ H $ の $ \widehat{G} $ への作用の滑らかさは、局所的滑らかさおよび軌道写像の滑らかさと同値であり、これは関連するチェイン写像の滑らかさに還元できる。