[論文レビュー] Non-abelian free groups admit non-essentially free actions on rooted trees

Miklós Abért, Gábor Elek|ArXiv.org|Jul 6, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、任意の有限生成の非アーベル自由群が根付き木上で球面的転送的で、本質的に自由でない作用を構成する。この作用により、一般の測度論的軌道は非木型シュライエル図をもたらすが、Baire-一般の軌道はケイリー木をもたらす。これは、グリゴルチキン、ネクラシェビッチ、シュシャンツキーが提起した、シュライエル図におけるBaire-一般と測度論的一般の軌道構造の違いに関する問題を解決する。

ABSTRACT

We show that every countable non-abelian free group $Γ$ admits a spherically transitive action on a rooted tree $T$ such that the action of $Γ$ on the boundary of $T$ is not essentially free. This reproves a result of Bergeron and Gaboriau. The existence of such an action answers a question of Grigorchuk, Nekrashevich and Sushchanskii.

研究の動機と目的

• 非アーベル自由群が根付き木上で忠実で球面的転送的であり、境界表現が本質的に自由でない作用を構成すること。
• グリゴルチキン、ネクラシェビッチ、シュシャンツキーの問題7.3.3（根付き木上の群作用におけるBaire-一般と測度論的一般のシュライエル図の違い）に答えること。
• ベルジャーソンとガボリアウの結果（自由群の本質的に自由でない境界表現）を、異なる手法を用いて再証明すること。
• 自由群のランク≥2に対して、交わりが自明である部分群の鎖が存在し、境界上の作用が非自明な安定化子を正の測度でもつことを示すこと。

提案手法

• 単語 $w_i$ が $x_i$ に非自明に作用するように、有限集合 $V_i$ 上に根付き頂点 $x_i$ を持つ $X$-ラベル付きグラフ $G_i$ を構成する。
• グラフ $G_i$ を用いて自由群 $F_X$ の群作用 $\Phi_i$ を定義し、$x_i \Phi_i(w_i) \neq x_i$ が成り立つようにする。
• 直和 $U_n = \bigoplus_{i=1}^n V_i$ を作り、基点 $o_n = \bigoplus_{i=1}^n x_i$ を定義し、作用 $\Psi_n = \bigoplus_{i=1}^n \Phi_i$ を定義する。
• $\Psi_n$ における $o_n$ の安定化部分群を $H_n$ とし、$F_X$ 内の鎖 $(H_n)$ を作る。$\cap H_n = 1$ であり、非自明な元 $a$ に対して $\mathrm{fixr}(a, \Gamma/H_n) > \alpha > 0$ を示し、ファーバー条件に反する。
• 境界表現が忠実で位相的に自由であることを使い、$(H_i)$ に共轭する新たな鎖 $(\Gamma_i)$ を構成し、境界作用が本質的に自由でないことを保証する。
• $(H_n)$ と $(\Gamma_i)$ の境界作用の同型性を用いて、新しい作用が本質的に自由でないことを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非アーベル自由群が根付き木上で球面的転送的作用をもつ場合、Baire-一般の軌道のシュライエル図が測度論的一般の軌道のシュライエル図と異なることがあるか？
• RQ2 非アーベル自由群が忠実ではあるが本質的に自由でない境界表現をもつことは可能か？
• RQ3 自由群が根付き木上で作用する場合、測度論的一般の軌道のシュライエル図が木でないことがあるが、Baire-一般の軌道は木をもたらすことは可能か？
• RQ4 自由群の境界表現を用いて、シュライエル図におけるBaireと測度論的一般の軌道構造の違いを実現できるか？
• RQ5 交わりが自明な自由群内の鎖が存在し、境界作用が非自明な安定化子を正の測度でもつことは可能か？

主な発見

• 本稿は、$F_d$ ($d \geq 2$) 内に鎖 $(\Gamma_n)$ を構成し、$\cap \Gamma_n = 1$ かつ境界作用が本質的に自由でないことを示す。
• 境界表現は忠実で、球面的転送的かつ位相的に自由であり、Baire-一般の点が自明な安定化子を持つことを保証する。
• 測度論的一般の点では、軌道のシュライエル図は $2d$-正則だが、正の測度の集合に非自明な安定化子が存在するため木でない。
• Baire-一般の軌道のシュライエル図は、ケイリー図 $\mathrm{Cay}(F_d, X)$ に同型であり、これは $2d$-正則な木である。
• 作用は本質的に自由でない。なぜなら、非自明な元 $a \in F_d$ に対して $\lim_{n \to \infty} \mathrm{fixr}(a, \Gamma/\Gamma_n) > 0$ であり、ファーバー条件に反するからである。
• この結果により、グリゴルチキン、ネクラシェビッチ、シュシャンツキーの問題7.3.3が解決され、シュライエル図におけるBaire-一般と測度論的一般の軌道構造が同型でないことがあることが示された。