[論文レビュー] Non-Abelian L Function for Number Fields

Lin Weng|ArXiv.org|Dec 1, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 35被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、幾何的算術コホロロジー、切断、Langlandsのイーゼンスタイン級数理論を用いて、数体における非アーベルL関数を導入する。コホロロジー双対性を用いて非アーベルゼータ関数を確立し、P¹上のパラボリックベクトル束のTannakian圏の自己同型群がS₃に同型であることを証明する。これにより非アーベルクラス体論が実現され、逆ガロア問題に対する幾何的アプローチが提供される。

ABSTRACT

This is an integrated part of our Geo-Arithmetic Program. In this paper we introduce and hence study non-abelian zeta functions and more generally non-abelian $L$-functions for number fields, based on geo-arithmetical cohomology, geo-arithmetical truncation and Langlands' theory of Eisenstein series.

研究の動機と目的

• 新しい幾何的算術コホロロジー枠組みを用いて、数体の非アーベルゼータ関数を定義すること。
• 自動形式および切断に基づく、非アーベルL関数の幾何的かつコホロロジー的基盤を確立すること。
• C上の関数体に対して非アーベルクラス体論を提供し、非アーベル相互法則を正当化すること。
• パラボリックベクトル束のTannakian圏の構造とガロア群との関係を結びつけることにより、逆ガロア問題を前進させること。

提案手法

• GL_r(𝔸)におけるアーデール格子と数体格子の交わりと商を用いて、新しい幾何的算術コホロロジーを定義する。
• H⁰(𝔸_F, g) = 𝔸ʳ(g) ∩ Fʳ(g) および H¹(𝔸_F, g) = 𝔸ʳ / (𝔸ʳ(g) + Fʳ(g)) を局所コンパクト群として定義する。
• Serre双対性（ポントリャーギン双対性）を用い、idelic双対化要素κ_Fに関してH¹をH⁰の双対と関連付ける。
• 標準的ハール測度とテスト関数（特性関数およびガウス型）を用いて、プラナッシャー公式によりコホロロジー群の数え上げを定義する。
• 幾何的算術的切断から得られるモジュライ空間上でのイーゼンスタイン級数の積分として、一般の非アーベルL関数を構成する。
• 幾何的算術的切断をArthurの解析的切断と比較し、自動形式L関数を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コホロロジー的および自動形式的手段を用いて、数体の非アーベルゼータ関数をどのように定義できるか？
• RQ2 イーゼンスタイン級数は、非アーベルL関数の構造において果たす役割は何か？
• RQ3 パラボリックベクトル束のTannakian圏の自己同型群は、与えられた有限群をガロア群として実現できるか？
• RQ4 パラボリックベクトル束のモジュライ空間上の有理点を用いることで、逆ガロア問題にどの程度到達できるか？
• RQ5 幾何的算術的コホロロジーは、非アーベルクラス体論とどのように関係するか？

主な発見

• 三つのパラボリックベクトル束Σ₁₁、Σ₁₂、Σ₂₁が生成するTannakian圏の自己同型群はS₃に同型である。
• パラボリック束のテンソル積分解は、S₃のすべての既約表現と正確に一致し、圏の同倣が確認される。
• これらの束を原始的生成子として持つこの圏は、有限生成である。
• この構成により、∞、1、0でそれぞれ指数3、2、2の分岐被覆としてℙ¹上のS₃がガロア群として実現される。
• このアプローチにより、関数体上のパラボリックベクトル束を用いた非アーベル相互法則の幾何的実現が得られる。
• この方法は、パラボリックベクトル束のモジュライ空間上の有理点を用いた、逆ガロア問題への新しい道筋を示唆する。