[論文レビュー] Non-abelian Seiberg-Witten theory and projectively stable pairs

Andrei Teleman|ArXiv.org|Sep 26, 1996

Geometry and complex manifolds参考文献 22被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、4次元多様体上のSpin^G構造を介して非アーベルSeiberg-Witten理論を導入し、G = PU(2)に焦点を当て、ケーラー多様体上でKobayashi-Hitchin対応を確立する。特に、ℙ²上のPU(2)-モノポールのモジュライ空間を明示的に計算し、そのUhlenbeckコンパクト化を記述し、Donaldson的およびアーベル的領域を同定することで、非アーベルモノポールモジュライ空間の複素幾何的解釈を提供する。

ABSTRACT

We introduce the concept of Spin^G-structure in a SO-bundle, where $G\subset U(V)$ is a compact Lie group containing $-id_V$. We study and classify $Spin^G(4)$-structures on 4-manifolds, we introduce the G-Monopole equations associated with a $Spin^G$-structure. On Kaehler surfaces a Kobayashi-Hitchin correspondence can be proved for the corresponding moduli spaces. Using this complex geometric interpretation, we determine explicitely a moduli space of "PU(2)-Monopoles" on $¶^2$, we describe its Uhlenbeck compactification, as well as the Donaldson- and the abelian locus.

研究の動機と目的

• 4次元多様体上での非アーベルゲージ理論的構造を導入することで、アーベルでない場合へのSeiberg-Witten理論の一般化を図ること。
• −id_V ∈ G を満たすコンパクトなリー群 G ⊂ U(V) に対して、Spin^G(4)-構造を定義し分類すること。
• Spin^G-構造に関連するG-モノポール方程式を定式化し、ケーラー多様体上でKobayashi-Hitchin対応を確立すること。
• ℙ²上のPU(2)-モノポールのモジュライ空間を計算し、そのUhlenbeckコンパクト化を分析すること。
• 非アーベルモノポールのモジュライ空間内におけるDonaldson的領域とアーベル的領域を同定すること。

提案手法

• 非アーベル構造群に対して一般化された標準的なSpin構造を拡張する形で、SO-バンドルにおけるSpin^G-構造の概念を導入すること。
• −id_V ∈ G を満たす群 G ⊂ U(V) を用いて、4次元多様体上のSpin^G(4)-構造を分類すること。
• 接続とヒッグス場を含むG接続バンドルにおける一般化されたSeiberg-Witten方程式としてのG-モノポール方程式を定義すること。
• ケーラー多様体上でKobayashi-Hitchin対応を確立し、G-モノポール方程式の解と射影的に安定なペアとの関係を示すこと。
• 複素幾何学的手法を用いて、安定な正則ペアとの対応を通じて、ℙ²上のPU(2)-モノポールのモジュライ空間を明示的に計算すること。
• モジュライ空間のUhlenbeckコンパクト化を分析し、Donaldson的領域とアーベル的領域に分解すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元多様体上のSpin^G-構造を介して、Seiberg-Witten理論をアーベルでないゲージ群へどのように一般化できるか？
• RQ2 −id_V を含むコンパクトなリー群 G に対して、G-モノポール方程式の明確な定式化は何か？
• RQ3 ケーラー多様体上で、G-モノポール方程式の解のモジュライ空間に対して、Kobayashi-Hitchin対応はどの程度成立するか？
• RQ4 ℙ²上のPU(2)-モノポールのモジュライ空間の明示的構造は何か？ また、Uhlenbeckコンパクト化においてどのように分解されるか？
• RQ5 非アーベルモノポールのモジュライ空間内において、Donaldson的領域とアーベル的領域はどのように現れるか？

主な発見

• ℙ²上のPU(2)-モノポールのモジュライ空間は、射影的に安定なペアとのKobayashi-Hitchin対応を用いて明示的に計算された。
• ℙ²上のPU(2)-モノポールのモジュライ空間のUhlenbeckコンパクト化は、その分離構造を含めて詳細に記述された。
• モジュライ空間内のDonaldson的領域は、可約解に対応し、特徴的な成分として同定された。
• アーベル的領域は、アーベルモノポールから生じる解に対応し、非アーベルモジュライ空間内で明示的に特徴づけられた。
• Kobayashi-Hitchin対応により、ℙ²上のPU(2)-モノポール方程式の解と射影的に安定なペアとの間で一対一対応が確立された。
• 4次元多様体上のSpin^G(4)-構造の分類は、−id_V ∈ G を満たすG-構造の選択によって達成された。