[論文レビュー] Non-Abelian Stokes theorem and quantized Berry flux

Alexander C. Tyner, Shouvik Sur+5 more|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2021

Topological Materials and Phenomena被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$\pi$-回転、$\pi$-時間反転（$\mathcal{PT}$）、または $SU(2)$ 対称性を持つ系における二重に縮退したバンドの非アーベル Berry フラックス（特にスピン-チェーン数）を、非アーベルストークスの定理を用いた Wilson ループに適用することで、ゲージ不変な方法で量子化された値を計算する手法を提案する。この手法により、詳細な対称性情報やバンド基底の知識を必要とせず、一次および高次位のトポロジカル絶縁体および半金属のトポロジカル分類が可能となり、モデル系および第一原理系において $2\pi$ および $4\pi$ の量子化フラックスが明確に示された。

ABSTRACT

Band topology of anomalous quantum Hall insulators can be precisely addressed by computing Chern numbers of constituent non-degenerate bands that describe quantized, Abelian Berry flux through two-dimensional Brillouin zone. Can Chern numbers be defined for $SU(2)$ Berry connection of two-fold degenerate bands of materials preserving space-inversion ($\mathcal{P}$) and time-reversal ($\mathcal{T}$) symmetries or combined $\mathcal{PT}$ symmetry, without detailed knowledge of underlying basis? We affirmatively answer this question by employing a non-Abelian generalization of Stokes' theorem and describe a manifestly gauge-invariant method for computing magnitudes of quantized $SU(2)$ Berry flux (spin-Chern number) from eigenvalues of Wilson loops. The power of this method is elucidated by performing $\mathbb{N}$-classification of \emph{ab initio} band structures of three-dimensional, Dirac materials. Our work outlines a unified framework for addressing first-order and higher-order topology of insulators and semimetals, without relying on detailed symmetry data.

研究の動機と目的

• 本稿の目的は、$\mathcal{PT}$ 対称系における二重に縮退したバンドの $SU(2)$ Berry 接続に対して、ゲージ不変なトポロジカル不変量を定義する課題に取り組むことである。
• スピン-回転不変性や鏡対称性などのグローバル対称性に依存せず、明示的な基底選択を必要としない、量子化された非アーベル Berry フラックス（スピン-チェーン数）を計算する手法を開発することである。
• 第一原理バンド構造を用いて、三次元ディラック材料における一次および高次位のトポロジカル絶縁体および半金属のトポロジカル分類を可能にすることである。
• 従来の不変量（例：$Z_2$）が失敗する場合でも、Wilson ループ法が、自明、一次、高次位のトポロジカル相を区別できることを示すことである。

提案手法

• 本手法は、$SU(2)$ 接続における非アーベルストークスの定理の一般化を用い、Wilson ループのホロノミーと非アーベル Berry フラックスの大きさを関連付ける。
• Wilson ループは、運動量空間における閉じた交差しない経路に沿って計算され、$SU(2)$ Berry 接続 $A_{j,n,s,s'}(\mathbf{k}) = -i \psi_{n,s}^\dagger(\mathbf{k}) \partial_j \psi_{n,s'}(\mathbf{k})$ に対して経路順序が適用される。
• ホロノミーは $W_n = \exp[i \theta_n(k_0) \hat{\Omega}_n(k_0) \cdot \boldsymbol{\sigma}]$ と表され、$\theta_n(k_0)$ はフラックスの大きさを符号化するゲージ不変な角度である。
• 非アーベルフラックスの大きさは Wilson ループ行列の固有値から抽出され、異なるトポロジカル相において $|2\pi|$ または $|4\pi|$ の量子化が観察される。
• このアプローチは、タイトバインディングモデルおよびナトリウムヒジックナイトライド（Na$_3$Bi）や $\beta$-CuI などの材料の第一原理バンド構造に適用され、ハイブリッド Wannier 中心とポリアコフループスペクトルを用いて検証された。
• この手法は基底変換に対して安定であり、グローバルなスピン定量軸や鏡対称性の特定を必要としない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathcal{PT}$ 対称性を持つが、追加のグローバル対称性を持たない系における二重に縮退したバンドに対して、ゲージ不変で量子化された非アーベル Berry フラックスを定義できるか？
• RQ2 Wilson ループ法は、バンド基底やグローバル対称性の事前知識がなくても、スピン-チェーン数を信頼性高く計算できるか？
• RQ3 この手法は、三次元ディラック材料における自明、一次、高次位のトポロジカル絶縁体を区別できるか？
• RQ4 非アーベルストークスの定理は第一原理バンド構造に適用可能であり、トポロジカル分類と整合する量子化フラックス値をもたらすか？

主な発見

• Wilson ループ法は、モデル系において $2\pi$ および $4\pi$ のフラックスを量子化された値として正確に計算でき、トポロジカル量子化が確認された。
• Na$_3$Bi において、$k_z=0$ の鏡面平面では非自明なスピン-チェーン数 $2\pi$ が観測され、ギャップなしの Wannier スペクトルおよびハイブリッド Wannier 中心のペアスイッチングによって裏付けられた。
• $C_6$ および $C_3$ 対称性を持つモデルでは、$\Delta=2$ の場合に $2\pi$ フラックスが特定され、$\Delta=4$ の場合に非自明なフラックス（$4\pi$）が観測されない、自明な振る舞いが観察された。
• Na$_3$Bi における高次位のトポロジカル絶縁体相は、第一ホモトピー分類のみでは自明相と区別できないが、Wilson ループスペクトルとポリアコフループ固有値の同時解析によってのみ区別可能である。
• $\beta$-CuI における第一原理計算では、ディラック点に局在する表面状態が確認され、トポロジカルエッジ状態と整合するスペクトル重みが得られ、Wilson ループ法の実材料への適用が妥当であることが検証された。
• スペクトル解析により、Na$_3$Bi の $k_z=0$ 平面は $Z_2$ 不変量により一次トポロジカル絶縁体であることが判明した。一方、$|k_z|<k_D$ の平面は高次位トポロジカル相、$k_z=\pi/c$ の平面は自明相であることが確認された。