[論文レビュー] Non-Adiabatic Quantum Dynamics of Grover's Adiabatic Search Algorithm

Sangchul Oh, Sabre Kais|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2014

Quantum Mechanics and Applications参考文献 2被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、2レベル系の表現を用いてグローバーの断熱的量子探索アルゴリズムの非断熱的ダイナミクスを調査し、Bloch球上の軌道を用いて状態の遷移を可視化している。非断熱遷移確率の遷移が短時間では指数関数的減衰、長時間では逆2乗減衰に移行することを明らかにした。また、定数の近似駆動ハミルトニアンが、非断熱的忠実度を著しく向上させるために、この確率を逆4乗減衰にまで低減することを示した。

ABSTRACT

We study quantum dynamics of Grover's adiabatic search algorithm with the equivalent two-level system. Its adiabatic and non-adiabatic evolutions are visualized as trajectories of Bloch vectors on a Bloch sphere. We find the change in the non-adiabatic transition probability from exponential decay for short running time to inverse-square decay for long running time. The size dependence of the critical running time is expressed in terms of Lambert $W$ function. The transitionless driving Hamiltonian is obtained to make a quantum state follow the adiabatic path. We demonstrate that a constant Hamiltonian, approximate to the exact time-dependent driving Hamiltonian, can alter the non-adiabatic transition probability from the inverse square decay to the inverse fourth power decay with running time. This may open up a new way of reducing errors in adiabatic quantum computation.

研究の動機と目的

• 最小ギャップ近似を超えたグローバーの断熱的探索アルゴリズムの非断熱的量子ダイナミクスを分析すること。
• 有効な2レベル系のBloch球軌道を用いて、断熱的および非断熱的状態の遷移を可視化すること。
• 短時間および長時間の非断熱減衰領域の遷移を示す臨界走行時間のスケーリングを特定すること。
• 正確な時間依存バージョンと比較して、定数の近似駆動ハミルトニアンが非断熱遷移をより効果的に抑制できるかどうかを検討すること。
• このような駆動ハミルトニアンが、誤差率の低減により、断熱的量子計算の高速化に貢献する可能性を評価すること。

提案手法

• 入力状態 |φ_in⟩ と目的状態 |w⟩ で構成される正規直交基底を用いて、断熱的探索を時間に依存する2レベル系としてモデル化する。
• 時間に依存する混合角 θ(s) を用いて、パウリ行列で表された時間に依存するハミルトニアンを表現し、エネルギーギャップを ℏω(s) = (1/N)√(Z² + X²) と定義する。
• BlochベクトルのBloch球上での軌道として、量子状態の遷移を可視化し、断熱的および非断熱的挙動を区別する。
• 正確な断熱的遷移を強制するための正確な遷移なし駆動ハミルトニアン H_D(t) = -ħ(ḋθ/2)σ_y を導出する。ここで ḃθ = (1/T)(dθ/ds) である。
• 時間微分 ḃθ の最小値および最大値から得られる H_D^min および H_D^max という定数駆動ハミルトニアンに、時間に依存する H_D(t) を近似する。
• 時間に依存するシュレーディンガー方程式を数値的に解き、走行時間 T および系のサイズ N に依存する非断熱遷移確率 P(T) を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グローバーの断熱的探索アルゴリズムにおける非断熱遷移確率は、走行時間 T に対してどのようにスケーリングされるか？
• RQ2 指数的減衰から逆2乗減衰への遷移を示す臨界走行時間は、問題サイズ N にどのように依存するか？
• RQ3 定数の近似駆動ハミルトニアンは、標準的な断熱的遷移と比較して、非断熱誤差を顕著に低減できるか？
• RQ4 近似定数駆動ハミルトニアン H_D^min は、エネルギーギャップおよびそれによる非断熱遷移確率にどのように影響を与えるか？
• RQ5 項の変化が最小限であるにもかかわらず、近似駆動ハミルトニアンは断熱条件にどの程度の変化をもたらすか？

主な発見

• 非断熱遷移確率 P(T) は短時間では指数関数的減衰を示し、長時間では逆2乗減衰（P(T) ∝ 1/T²）に移行する。
• 逆2乗減衰の開始を示す臨界走行時間 T_c は系のサイズ N に依存し、ラマヌジャン・ラムベルト W 関数を用いて表現される。
• 近似定数駆動ハミルトニアン H_D^min は、長時間における非断熱遷移確率を 1/T² から 1/T⁴ にまで低減し、誤差を顕著に抑制する。
• 断熱条件の分母がわずか 3.96% 増加したにもかかわらず、H_D^min は P(T) のスケーリングに劇的変化をもたらし、ギャップの変更に対する非線形応答を示している。
• H_D^min は瞬時のエネルギー準位およびBloch球上の軌道にほとんど変化をもたらさないが、非断熱誤差抑制において顕著な改善をもたらす。
• 数値結果から、定数の近似駆動ハミルトニアンが正確な時間依存バージョンを上回る誤差低減性能を示し、より高速な断熱的量子計算への実用的道筋を示していることが示唆される。