[論文レビュー] Non-algebraic Hyperkaehler manifolds

Frédéric Campana, Keiji Oguiso+1 more|ArXiv.org|Apr 10, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 16被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、非代数的ハイパーケーラー多様体に焦点を当て、その代数的次元とファイブレーションを調査する。4次元ハイパーケーラー多様体に対して、代数的次元が 0、2、または 4 であることを証明し、代数的次元が次元の半分であるとき、代数的還元が正則ラグランジュ的であるという予想を確認する。結果は、ネフ線束の構造とネロン＝セバール群上のボイユ形式に依存する。

ABSTRACT

We study the algebraic dimension a(X) of a compact hyperkaehler manfold of dimension 2n. We show that a(X) is at most n unless X is projective. If a compact Kaehler manifold with algebraic dimension 0 and Kodaira dimension 0 has a minimal model, then only the values 0,n and 2n are possible. In case of middle dimension, the algebraic reduction is holomorphic Lagrangian. If n = 2, then - without any assumptions - the algebraic dimension only takes the values 0,2 and 4. The paper gives structure results for "generalised hyperkaehler" manifolds and studies nef lines bundles.

研究の動機と目的

• ハイパーケーラー多様体の代数的次元に関する予想を、特に非代数的の場合に解決すること。
• ネロン＝セバール群の放物型および楕円型の場合における代数的還元の構造を特定すること。
• 代数的還元が正則的かつラグランジュ的である条件を、特に次元4の場合に確立すること。
• ネフ線束およびその半正則性が代数的次元を決定する役割を調査すること。
• ケダール次元 0 のケーラー多様体の最小モデルの存在が、高次元における予想の妥当性に与える影響を結びつけること。

提案手法

• H^2(X,\mathbb{Z}) 上のボイユ形式を用いて、ネロン＝セバール群を双曲型、放物型、楕円型に分類する。
• ほぼ正則ファイブレーションおよびメラモーフィック還元の理論を適用して、代数的還元の構造を分析する。
• 半正則およびネフ設定におけるリーマン・ロッホ定理およびハード・レフシッツの定理を用いて、コホロロジーの消滅と代数的次元の関係を関係づける。
• 乗数イデアルおよびネフ線束上の特異計量を用いて、正次元の部分多様体の存在を研究する。
• コホロロジーの半連続性および最小モデル理論の結果を用いて、最小モデルに関する仮定の下で代数的次元を制約する。
• ヒルベルトスキーム S^{[n]} を、K3表面の点の集合としての主要な例として用い、予想の動機を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 2n のハイパーケーラー多様体の代数的次元は、0、n、2n のみをとるか？
• RQ2 a(X) = n ならば、代数的還元は正則的かつラグランジュ的か？
• RQ3 ネロン＝セバール群が放物型で a(X) > 0 のとき、代数的還元の構造はいかなるものか？
• RQ4 非代数的ハイパーケーラー多様体が非自明なネフ線束をもつための条件は何か？
• RQ5 a(Y) = \kappa(Y) = 0 で、有効な正則標準束をもつ、次元が 2n-1 未満のコンパクトケーラー多様体 Y が最小モデルをもつならば、高次元における予想は成立するか？

主な発見

• 4次元ハイパーケーラー多様体に対して、代数的次元は 0、2、または 4 であり、この場合に限り、予想1.1が確認される。
• ネロン＝セバール群が楕円型であれば、a(X) = 0 であり、多様体は非代数的で、非自明な代数的還元をもたない。
• ネロン＝セバール群が放物型で a(X) > 0 であるとき、代数的還元は正則ラグランジュ的（したがって a(X) = n）であるか、またはほぼ正則でないが、ファイバーの代数的次元が 0 である。
• 放物型ネロン＝セバール群をもつ非代数的ハイパーケーラー多様体は、次元が 2 以上の正次元のコンパクト部分多様体を含む。
• 非射影的ハイパーケーラー多様体上に非自明なヘルミート的半正則線束 L が存在するとき、\kappa(L) = a(X) が成り立ち、イタカのファイブレーションが代数的還元と関連づけられる。
• すべてのコンパクトケーラー多様体 Y に対して、\dim Y \leq 2n-1、a(Y) = \kappa(Y) = 0、有効な正則標準束をもつ場合に最小モデルが存在するならば、一般に予想は成立する。