[論文レビュー] Non-alternating Hamiltonian Lie algebras in characteristic 2.I

A. V. Kondrateva, М. И. Кузнецов+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、特徴値 2 の完全体上の非交互なハミルトニアンリー代数を、フラグ自己同型群作用下での非交互な対称双線形形式の不変量の完全系を構成することによって分類する。このような代数は、変数の数が 2, 3, 4 であるか、ある変数の高さが 1 である場合を除き、フィルター付き変形に関して剛性を示すことが証明され、関連する形式の不変量を用いた同型条件が確立される。

ABSTRACT

The classification of graded non-alternating Hamiltonian Lie algebras over perfect field of characteristic 2 is obtained. It is shown that the filtered deformations of such algebras correspond to non-alternating Hamiltonian forms with polynomial coefficients in divided powers. It is proved that graded non-alternating Hamiltonian algebras are rigid with respect to filtered deformations except for some cases when the number of variables is 2, 3, 4 or when the heights of some variables are equal to 1.

研究の動機と目的

• 特徴値 2 の体上の非交互なハミルトニアンリー代数の一般理論の構築を目的とする。
• フラグ自己同型群作用下での対称双線形形式の不変量を用いて、階数付き非交互なハミルトニアンリー代数を分類すること。
• このような代数のフィルター付き変形が、分岐冪の多項式係数を持つ非交互なハミルトニアン形式に対応する条件を特定すること。
• これらの代数がフィルター付き変形に関して剛性を示す条件を分析し、例外的な場合を同定すること。
• フィルター付きおよび階数付き非交互なハミルトニアンリー代数の導分と自己同型を記述すること。

提案手法

• 特徴値 2 の完全体上での非交互な対称双線形形式に対して、フラグ自己同型群作用下での完全な不変量系を構成する。
• コインダクティブ加群とスペンサーコホモロジーの枠組みを用い、カルタン型リー代数のフィルター付き変形に関する S.M. スキアビンの手法を援用する。
• 埋め込み定理とセールの自己同型的条件を適用して、フィルター付き変形とそれに対応するハミルトニアン形式の分析を行う。
• 部分代数 $σ\mathscr{L}_0$ によって定義される自然なフィルトレーションを用いて、不変性および同型性の性質を証明する。
• 小規模な $n$ および変数の高さ $m_i$ に対する関連リー代数 $P(n,\overline{m},\omega)$ の構造を分析し、例外的な場合を同定する。
• シュールの補題および $L_{-1}$ が $L_0$-加群として絶対的単純であることを利用して、階数付き代数間の同型条件を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴値 2 の完全体上の階数付き非交互なハミルトニアンリー代数の完全な分類は何か？
• RQ2 このような代数のフィルター付き変形が、分岐冪の多項式係数を持つ非交互なハミルトニアン形式に対応するのはどのような条件下か？
• RQ3 階数付き非交互なハミルトニアンリー代数は、どのような条件下でフィルター付き変形に関して剛性を示すか？
• RQ4 自己同型および導分は、特に例外的な場合においてどのように振る舞うか？
• RQ5 非交互なハミルトニアンリー代数の同型不変量は何か？また、それらは代数の構造をどのように決定するか？

主な発見

• 同じフラグ $\mathscr{F}$ を持つ分岐冪代数上に定義された二つの階数付き非交互なハミルトニアンリー代数は、それらに対応する双線形形式の不変量が一致する場合にかつその場合にのみ同型である。
• 階数付き非交互なハミルトニアンリー代数のフィルター付き変形は、$n=2,3,4$ であるか、ある $m_i=1$ である場合を除き、分岐冪の多項式係数を持つ非交互なハミルトニアン形式に対応する。
• 変数の数が 4 より大きい、または変数の高さが 1 を超える場合、階数付き非交互なハミルトニアンリー代数はフィルター付き変形に関して剛性を示す。
• $n=3$ の場合、$P(3,\overline{m},\omega_1)$ は $b \neq 0$ または $c \neq 0$ または $m_3 > 1$ のとき、次元 $2^m - 1$ の単純代数であり、$b=c=0$、$m_3=1$ かつ $(m_1,m_2) \neq (1,1)$ のとき、次元 $2^m - 2$ の単純代数である。
• $n=3$ の場合、$P(3,\overline{m},\omega_2)$ は $(a,b,c) \neq (t,t,t)$ for $t \in K$ または $\overline{m} \neq \overline{1}$ のとき、次元 $2^m - 1$ の単純代数である。
• $n=3$ の場合、$P(3,\overline{m},\omega_3)$ は $(m_1,m_3) \neq (1,1)$ または $b \neq 0$ または $a \neq c$ のとき、次元 $2^m - 1$ の単純代数である。それ以外の場合は、$a=c$、$b=0$、$(m_1,m_3)=(1,1)$ かつ $m_2 \neq 1$ のとき、導来代数は次元 $2^m - 2$ の単純代数である。