[論文レビュー] Non-anomalous non-invertible symmetries in 1+1D from gapped boundaries of SymTFTs

Pavel Putrov, Rajath Radhakrishnan|arXiv (Cornell University)|May 7, 2024

Atomic and Subatomic Physics Research被引用数 8

ひとこと要約

本論文は、Lagrangian代数が2+1D SymTFT Z(C)のゲップ境界を分類することを、対称性Cを持つ1+1D量子場の非異常な非対称（line）演算子と結びつけ、非異常なゲージ化の基準と、同じSymTFTを共有する球状境界を跨ぐ代数を輸送するバルク-境界写像を提供する。

ABSTRACT

We study the anomalies of non-invertible symmetries in 1+1D QFTs using gapped boundaries of its SymTFT. We establish the explicit relation between Lagrangian algebras which determine gapped boundaries of the SymTFT, and algebras which determine non-anomalous/gaugeable topological line operators in the 1+1D QFT. If the Lagrangian algebras in the SymTFT are known, this provides a method to compute algebras in all fusion categories that share the same SymTFT. We find necessary conditions that a line operator in the SymTFT must satisfy for the corresponding line operator in the 1+1D QFT to be non-anomalous. We use this constraint to show that a non-invertible symmetry admits a 1+1D trivially gapped phase if and only if the SymTFT admits a magnetic Lagrangian algebra. We define a process of transporting non-anomalous line operators between fusion categories which share the same SymTFT and apply this method to the three Haagerup fusion categories.

研究の動機と目的

• SymTFT Z(C)のゲップ境界が、対称性Cを持つ1+1DのQFTにおける非異常なライン演算子にどのように対応するかを理解する。
• Z(C)のLagrangian代数と、ゲージ可能なラインを決定するC内の代数との明示的な関係を確立する。
• バルク-境界写像を介して、非異常なラインを特定し、Morita同等性クラスをゲージ可能な境界の物理的に等価な分類として捉える実用的基準を提供する。
• 既知のLagrangian代数から、同じSymTFTを共有するすべての融合カテゴリーで代数を計算する方法を示す。
• Haagerup融合カテゴリーなどの例に適用し、カテゴリ間で非異常なラインを輸送する方法を論じる。

提案手法

• Z(C)におけるゲップ境界を決定するLagrangian代数Lを定義する。
• F: Z(C) -> Cという境界へのバルク写像を用いて、F(L)を介してCにおける非異常なライン演算子とLを関連づける。
• F(L)が非異常なライン演算子であり、そのMorita等価類が物理的に同等のゲージを捉える（定理5.1）。
• C内の代数オブジェクトの乗法を、対応するLagrangian代数Lの乗法データ（明示的式、式32）に関連づける。
• 境界からバルクへの写像Kを導入し、与えられた境界代数に対応するLagrangian代数を決定する。
• 可逆対称性の特別な場合を議論し、それに関連する結果を提供する（定理5.2）。
• 同じSymTFTを共有する Fusionカテゴリー間で非異常なライン演算子を輸送する方法を説明し、Haagerupカテゴリーへの適用を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SymTFT Z(C)のゲップ境界は、対称性Cを持つ1+1DのQFTにおける非異常/ゲージ可能なライン演算子をどのように符号化するか？
• RQ2 Z(C)のLagrangian代数と、ゲージ可能なラインを決定するC内の代数との明示的な関係は何か？
• RQ3 Cのライン演算子がZ(C)にLagrangian代数を持つとき、それは非異常なゲージングを意味するのか？
• RQ4 同じSymTFTを共有する融合カテゴリー間で、非異常なライン演算子をどのように輸送できるか？
• RQ5 既知のLagrangian代数から、C内の代数を用いてCから得られる代数を導出し、またそれと逆に、境界-バルク写像がどのような役割を果たすのか？

主な発見

• Z(C)におけるLagrangian代数Lは、F(L)としてC内の代数オブジェクトの和の形を持つ境界前方での合成物を生み出し、非異常である。
• F(L)に含まれるC内のゲージ可能な代数のMorita同等性類は、物理的に等価なゲージ化を捉える。
• C内の代数Aの乗法と、それに対応するLagrangian代数Lの乗法データとの間には、明示的な式が存在する（式32）。
• バルク-境界写像と境界-バルク写像は、Z(C)のLとCの非異常ライン演算子を結びつけ、Cの代数から境界の境界境界を決定し、それと逆も可能とする。
• モジュラーCの場合、LとF(L)は、表面演算子のライン上での作用とそのゲージ化された代数に関連するバルク解釈を有する。
• この枠組みは、Lagrangian代数を持つZ(C)のライン演算子をCの代数を介して分類し、共有するSymTFTを持つカテゴリー間で非異常ラインを輸送することを可能にする（Haagerupカテゴリーを例示）。