[論文レビュー] Non-arbitrage for Informational Discrete Time Market Models

Tahir Choulli, Jun Deng|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ランダムタイム τ として表されるインサイダー情報が組み込まれた離散時間市場モデルにおいて、非アービトラージ性が保持される条件を確立する。非アービトラージ性は τ に対して緩い条件のもとで安定しており、任意の市場に対して非アービトラージ性を保証するための τ に関する必要十分条件を提示している。具体的な例を通じて、これらの条件が満たされない場合にアービトラージが生じることを示している。

ABSTRACT

This paper focuses on the stability of the non-arbitrage condition in discrete time market models when some unknown information $τ$ is partially/fully incorporated into the market. Our main conclusions are twofold. On the one hand, for a fixed market $S$, we prove that the non-arbitrage condition is preserved under a mild condition. On the other hand, we give the necessary and sufficient equivalent conditions on the unknown information $τ$ to ensure the validity of the non-arbitrage condition for any market. Two concrete examples are presented to illustrate the importance of these conditions, where we calculate explicitly the arbitrage opportunities when they exist.

研究の動機と目的

• インサイダー情報（ランダムタイム τ としてモデル化）が離散時間金融市場における非アービトラージ条件に与える影響を調査すること。
• 新しい情報が市場のフィルトレーションに組み込まれる際、τ に関するどのような条件下で非アービトラージ性が保持されるかを特定すること。
• 任意の基礎となる市場過程 S に対して非アービトラージ性が成り立つようにするための τ に関する必要十分条件を提供すること。
• 条件が満たされない場合にアービトラージ機会が生じる理由を具体的な例を通じて示すこと。

提案手法

• 本稿は、元のフィルトレーション F に関して停止時刻でない可能性のあるランダムタイム τ を用いてインサイダー情報をモデル化する。
• H を τ が生成するフィルトレーションとするとき、G = F ∨ H と表される逐次的拡大フィルトレーションを導入し、資産価格過程 S のマルティンゲール性に与える影響を検討する。
• 主な技術的手法として、測度変更と拡大フィルトレーション G におけるマルティンゲール性を分析するための密度過程 Z 及びその双対過程 Z̃ を用いる。
• S が G-マルティンゲールのままであるかどうかを決定するための条件として、E[ΔS₂Δm₂|F₁] = 0 および Z₁ と Z̃₂ の振る舞いを導出する。
• 非アービトラージ性と等価マルティンゲール測度の存在との関係を示す、資産取引の基本定理を適用する。
• 2状態および3状態モデルにおける明示的計算を通じて、理論的条件の妥当性を検証し、条件が満たされない場合にアービトラージが生じることを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムタイム τ に関するどのような条件下で、τ が市場のフィルトレーションに組み込まれた際に非アービトラージ性が保持されるか。
• RQ2 任意の市場過程 S に対して非アービトラージ性が成り立つようにするための τ に関する必要十分条件は何か。
• RQ3 導出された条件を満たさない τ が、離散時間モデルにおいてアービトラージ機会の存在を引き起こす仕組みは何か。
• RQ4 フィルトレーションの逐次的拡大が、資産価格過程 S のマルティンゲール性にどのように影響を与えるか。
• RQ5 τ がアービトラージを引き起こすような具体的な例を構築できるか。また、そのアービトラージ戦略の構造は何か。

主な発見

• 固定された市場 S に対して、非アービトラージ性が保持されるための条件は、τ が緩い可積分性および可測性条件を満たすことである。これにより、S^τ がアービトラージを導入しないことが保証される。
• 任意の市場 S に対して非アービトラージ性が成り立つための必要十分条件は、E[ΔS₂Δm₂|F₁] = 0 であり、これにより S が拡大フィルトレーション G においても G-マルティンゲールのままであることが保証される。
• 例 1.2 において、τ = 1 on {ω₃} かつ 2 その他の場合、S^τ はマルティンゲールでなく、時刻 1 における {ω₃, ω₄} での空売り戦略が確実な利益をもたらすため、アービトラージの存在が確認される。
• 例 1.3 において、τ₁ が {ω₃} で 1、その他で 2 と定義されるとき、E[ΔS₂Δm₂|F₁] = 0 が成り立ち、S は G-マルティンゲールのままであるため、拡大市場においてアービトラージがないことが示される。
• アービトラージの存在を正確に特定するための基準として、集合 {ΔS₂ ≠ 0} ∩ {Z₁ > 0} ∩ {Z̃₂ = 0} または {ΔS₂ ≠ 0} ∩ {Z̃₂ = 1} ∩ {Z₁ < 1} が空でない場合にアービトラージが生じることを示している。
• S^G が S^G₂(ω₃) = dS₀ および S^G₂(ω₄) = dS₀ で定義されるとき、これは G-マルティンゲールであることが示され、τ₁ が真の時刻（honest time）であり条件が満たされる場合の非アービトラージ性が確認される。