[論文レビュー] Non-Arbitrage under a Class of Honest Times

Tahir Choulli, Anna Aksamit+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、停止時刻でないが、その発生後に金融市場における無限利潤・限定リスク（NUPBR）条件を保つランダム時刻である「誠実な時刻」の新クラスを導入する。初期市場モデルとこのような誠実な時刻のペアを特徴付けることで、τ以降の市場がアービタージュフリーであるための条件を確立し、リスク中立化モデルにおける「τ以降」のダイナミクスに対する明示的な局所 martingale デフレーターを構成する。

ABSTRACT

This paper quantifies the interplay between the non-arbitrage notion of No-Unbounded-Profit-with-Bounded-Risk (NUPBR hereafter) and additional information generated by a random time. This study complements the one of Aksamit/Choulli/Deng/Jeanblanc [1] in which the authors studied similar topics for the case of stopping at the random time instead, while herein we are concerned with the part after the occurrence of the random time. Given that all the literature -up to our knowledge- proves that the NUPBR notion is always violated after honest times that avoid stopping times in a continuous filtration, herein we propose a new class of honest times for which the NUPBR notion can be preserved for some models. For this family of honest times, we elaborate two principal results. The first main result characterizes the pairs of initial market and honest time for which the resulting model preserves the NUPBR property, while the second main result characterizes the honest times that preserve the NUPBR property for any quasi-left continuous model. Furthermore, we construct explicitly "the-after-tau" local martingale deflators for a large class of initial models (i.e. models in the small filtration) that are already risk-neutralized.

研究の動機と目的

• 停止時刻でないランダム時刻 τ の後でも NUPBR 条件が保たれるかどうかという未解決問題を解消すること。
• τ が停止時刻でない場合でも、τ 以降の市場で NUPBR 性質を保つような誠実な時刻の新クラスを同定すること。
• 初期市場モデルと誠実な時刻のペアを特徴付けることにより、τ 以降に NUPBR が保たれる条件を同定すること。
• リスク中立化モデルにおける「τ 以降」のダイナミクスに対して、明示的な「τ 以降」の局所 martingale デフレーターを構成すること。
• 特に準左連続設定において、追加情報を持つ時刻からの NUPBR の適用範囲を拡張すること。

提案手法

• すべての停止時刻と特定の非停止時刻を含む、半マルティンゲールおよび NUPBR の保存を保証する誠実な時刻の新クラスを導入。
• Dellacherie-Mokobodski の基準を用いて、拡大されたフィルトレーション G の下で S − S^τ の半マルティンゲール性を分析。
• NUPBR と利益過程の局所可積分性の同値性を用いて、ジャンプ測度の補償過程に関する条件を導出。
• Galtchouk-Kunita-Watanabe 分解と密度過程 Z を通じた Girsanov 型変換を用いて、P と Q の下でのダイナミクスを関連付ける。
• 定理 A.1 を適用して、異なる測度下での τ 以降プロセスの予測可能特性を比較し、NUPBR 条件の同値性を保証。
• 関数 K と密度過程 Z を用いて明示的な局所 martingale デフレーターを構成し、τ 以降のモデルがアービタージュフリーのままであることを保証。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 停止時刻でないランダム時刻 τ の後でも NUPBR 条件を保てるか？
• RQ2 どのクラスの誠実な時刻が、τ 以降の市場 (S − S^τ) がアービタージュフリーであることを保証するか？
• RQ3 初期市場モデルと τ に対して、拡大フィルトレーション G が NUPBR を保つための条件は何か？
• RQ4 リスク中立化モデルにおける「τ 以降」のダイナミクスに対して、局所 martingale デフレーターを明示的に構成する方法は何か？
• RQ5 ジャンプ測度の補償過程と密度過程 Z は、τ 以降に NUPBR を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、すべての停止時刻と特定の非停止時刻を含む、τ 以降に NUPBR 条件が保たれる誠実な時刻の新クラスを同定した。
• τ 以降のモデル (S − S^τ, G) が NUPBR を満たすようなペア (S, τ) を特徴付け、アービタージュフリー性を決定する公開情報から観測可能な関数 K を特定した。
• 任意の準左連続な初期モデルに対して、τ 以降に NUPBR 性質が保たれるのは、ジャンプ測度の補償過程が密度過程 Z を含む特定の可積分性条件を満たすときである。
• 関数 K と密度過程 Z を用いて、「τ 以降」のダイナミクスの明示的な局所 martingale デフレーターを構成し、τ 以降の市場がアービタージュフリーのままであることを保証した。
• 初期フィルトレーション F の下で (1 − Z_−) · V の局所可積分性と、(S − S^τ, G) の NUPBR 条件との同値性を確立し、実用的な基準を提供した。
• 証明は、等価測度下での予測可能特性の比較に依拠し、定理 A.1 を適用して、補償過程の構造が新しい情報と整合する場合に NUPBR 条件が保たれることを示した。