[論文レビュー] Non-Arbitrage up to Random Horizon and after Honest Times for Semimartingale Models

Tahir Choulli, Anna Aksamit+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 25被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、半マルティンゲール財務モデルを確率的時間に停止させることによる、有界リスクにおける無限利益の不在（NUPBR）性質への影響を調査する。プログレッシブなフィルトレーションの拡大と確率的微積分を用いて、NUPBR を保持する市場モデルと確率的時間のペアを同定し、そのような時間に停止する局所マルティンゲールの明示的デフレーターを構築する。

ABSTRACT

This paper addresses the question of how an arbitrage-free semimartingale model is affected when stopped at a random horizon. We focus on No-Unbounded-Profit-with-Bounded-Risk (called NUPBR hereafter) concept, which is also known in the literature as the first kind of non-arbitrage. For this non-arbitrage notion, we obtain two principal results. The first result lies in describing the pairs of market model and random time for which the resulting stopped model fulfills NUPBR condition. The second main result characterises the random time models that preserve the NUPBR property after stopping for any market model. These results are elaborated in a very general market model, and we also pay attention to some particular and practical models. The analysis that drives these results is based on new stochastic developments in semimartingale theory with progressive enlargement. Furthermore, we construct explicit martingale densities (deflators) for some classes of local martingales when stopped at random time.

研究の動機と目的

• 半マルティンゲールモデルが確率的時間に停止された場合、どのような条件下で NUPBR が保たれるかを特定すること。
• 任意の基礎となる市場モデルに対して NUPBR 性質を保持する確率的時間モデルを同定すること。
• 停止された半マルティンゲールモデルを分析するための、プログレッシブなフィルトレーション拡大を用いた一般的な理論的枠組みを構築すること。
• 実用的モデルにおける確率的時間に停止する局所マルティンゲールの明示的マルティンゲール密度（デフレーター）を構築すること。

提案手法

• 確率的時間の情報到着を市場フィルトレーションに組み込むために、プログレッシブなフィルトレーション拡大を用いる。
• 半マルティンゲールの確率的微積分を用いて、停止後の資産運用プロセスの局所マルティンゲール性を分析する。
• 確率的時間に停止した後も、厳密な局所マルティンゲール性が保持されるか、あるいは喪失されるかの条件を導出する。
• 真の時間理論を用いて、確率的時間に停止する局所マルティンゲールの明示的デフレーター（マルティンゲール密度）を構築する。
• 真の時間の概念を用いて、停止モデルにおけるデフレーターの挙動と非アービトラージ条件を特徴付ける。
• 具体的な実用的モデルを分析することで、一般結果の説明と理論的枠組みの妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの半マルティンゲール市場モデルと確率的時間の組み合わせが、停止後に NUPBR 条件を保持するか？
• RQ2 どのような特徴を持つ確率的時間が、任意の基礎となる半マルティンゲール市場モデルに対して NUPBR を保持するか？
• RQ3 半マルティンゲールモデルにおける確率的時間に停止する局所マルティンゲールに対して、どのように明示的デフレーターを構築できるか？
• RQ4 プログレッシブなフィルトレーション拡大は、確率的停止下での非アービトラージ性質の保持または破壊にどのような役割を果たすか？
• RQ5 真の時間は、停止モデルにおける資産運用プロセスのマルティンゲール性および局所マルティンゲール性にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 停止過程が NUPBR 条件を満たすための、確率的時間および基礎となる半マルティンゲールモデルに関する必要十分条件を同定した。
• NUPBR 性質がすべての半マルティンゲールモデルに対して普遍的に保持される、特に真の時間として特徴付けられる確率的時間のクラスを特定した。
• 特に真の時間の文脈において、確率的時間に停止する局所マルティンゲールの明示的マルティンゲール密度（デフレーター）を構築した。
• 結果から、プログレッシブなフィルトレーション拡大の枠組みが、停止モデルの非アービトラージ性質を分析する上で不可欠であることが示された。
• この枠組みは一般および具体的な実用的モデルに適用可能であり、現実の金融モデルへの強固な適用可能性を示した。
• 分析から、NUPBR の保存は、確率的時間の情報構造と半マルティンゲールダイナミクスの相乗作用に強く依存することが明らかになった。