[論文レビュー] Non-Arbitrage up to Random Horizon for Semimartingale Models

Anna Aksamit, Tahir Choulli+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 41被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、半マルティンゲール資産価格過程が確率的時刻で停止される場合に、有界リスクにおける利益なし（NUPBR）性質が保たれるための必要十分条件を確立する。プログレッシブフィルトレーションの拡大とマルティンゲールディーフレーター技術を用いて、NUPBRを保つ市場モデルと確率的時刻のペアを同定し、すべてのモデルに対して普遍的にNUPBRを保つ確率的時刻を特定する。

ABSTRACT

This paper addresses the question of how an arbitrage-free semimartingale model is affected when stopped at a random horizon. We focus on No-Unbounded-Profit-with-Bounded-Risk (called NUPBR hereafter) concept, which is also known in the literature as the first kind of non-arbitrage. For this non-arbitrage notion, we obtain two principal results. The first result lies in describing the pairs of market model and random time for which the resulting stopped model fulfills NUPBR condition. The second main result characterises the random time models that preserve the NUPBR property after stopping for any market model. These results are elaborated in a very general market model, and we also pay attention to some particular and practical models. The analysis that drives these results is based on new stochastic developments in semimartingale theory with progressive enlargement. Furthermore, we construct explicit martingale densities (deflators) for some classes of local martingales when stopped at random time.

研究の動機と目的

• 半マルティンゲール資産価格過程が確率的時刻で停止される場合に、NUPBR性質がどの条件下で保たれるかを特定すること。
• 任意の初期半マルティンゲール市場モデルに対してNUPBR性質を保つ確率的時刻を同定すること。
• プログレッシブなフィルトレーションの拡大を用いた、確率的ホライズンにおける非アービトラージ分析の一般枠組みを構築すること。
• 特定のクラスのモデルにおける停止された局所マルティンゲールの明示的局所マルティンゲールディーフレーターを構築すること。
• 初期市場モデルの構造と確率的時刻の性質との間の相互作用、特に準左連続および予測可能ジャンプを有する薄い過程において、NUPBRの保存に与える影響を明らかにすること。

提案手法

• 確率的時刻（ランダムな情報の到着）を半マルティンゲールフレームワーク内でモデル化するために、プログレッシブなフィルトレーションの拡大を用いる。
• 特に、確率的測度および過程のオプショナルおよび予測可能投影を用いた半マルティンゲールのストキャスティック・カルキュラスを適用する。
• NUPBR条件を停止モデルで特徴付けるために、局所マルティンゲールディーフレーター（または確率的割引因子）の概念を用いる。
• 動的拡大フィルトレーションを記述するための生存過程 $ Z = \mathbb{E}[\mathbf{1}_{\{\tau > \cdot\}} \mid \mathcal{F}_\cdot] $ を導入・分析する。
• 拡大フィルトレーション $ \mathbb{G} $ における局所マルティンゲールのための新しいオプショナル分解公式を確立し、停止された局所マルティンゲールの分解を可能にする。
• 補正項の $ \mathbb{F} $-予測可能および $ \mathbb{G} $-局所可積分性を用いて、確率的時刻 $ \tau $ のジャンプ構造に関する条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのペア $ (S, \tau) $ に対して、$ S $ が半マルティンゲールで $ \tau $ が確率的時刻であるとき、停止過程 $ S^\tau $ がNUPBR条件を満たすか？
• RQ2 どの確率的時刻 $ \tau $ が、任意の初期半マルティンゲール市場モデル $ S $ に対してNUPBR性質を保つか？
• RQ3 特にその予測可能性および $ \mathbb{F} $-停止時刻を避ける性質を含め、確率的時刻 $ \tau $ の構造がNUPBRの保存に与える影響は何か？
• RQ4 局所マルティンゲールディーフレーターが、プログレッシブな拡大のもとで存在し、良好に振る舞うための条件は何か？
• RQ5 拡大フィルトレーション $ \mathbb{G} $ における局所マルティンゲールのオプショナル分解が、NUPBR条件を特徴付けるためにどのように利用できるか？

主な発見

• 適切な $ \tau $ の条件下で、$ S^\tau $ がNUPBR性質を保つのは、$ S $ のジャンプ測度の $ \mathbb{G} $-オプショナル投影の補正項が $ \mathbb{F} $ で局所可積分であるとき、かつそのときに限り成り立つ。
• 準左連続過程の場合、$ S^\tau $ がNUPBR性質を有するのは、$ \tau $ が $ P $-ほとんど確実にすべての $ \mathbb{F} $-停止時刻を避けるとき、かつ $ \mu^\tau $ の補正項が局所 $ \mathbb{F} $-可積分であるとき、かつそのときに限り成り立つ。
• 任意の初期モデル $ S $ に対してNUPBRを保つ確率的時刻 $ \tau $ は、$ \tau $ が $ \mathbb{G} $-停止時刻であり、かつ $ \mu^\tau $ の補正項が局所 $ \mathbb{F} $-可積分であるとき、かつそのときに限り成り立つ。
• 予測可能ジャンプを有する薄い過程のクラスにおいて、$ \mathbb{F} $-予測可能投影による強度測度の投影を用いて、停止局所マルティンゲールの明示的局所マルティンゲールディーフレーターを構築した。
• 証明により、$ hI_{\{Z_- \geq \delta\}} \star (\widetilde{Z} \cdot \mu) \in \mathcal{A}^+_{\text{loc}}(\mathbb{F}) $ が成り立つのは、$ hI_{\{Z_- \geq \delta\}}I_{[\![0,\tau]\!]} \star \mu \in \mathcal{A}^+_{\text{loc}}(\mathbb{G}) $ が成り立つとき、かつそのときに限り成り立つことが示され、重要な可積分性条件が得られた。
• 生存過程 $ Z $、すなわち $ Z_t = \mathbb{E}[\mathbf{1}_{\{\tau > t\}} \mid \mathcal{F}_t] $ として定義されるものだが、拡大フィルトレーションの動的特性および補正項の可積分性を特徴付ける上で中心的な役割を果たす。