[論文レビュー] Non-Archimedean analytic curves in the complements of hypersurface divisors

Ta Thi Hoai An, Julie Tzu‐Yueh Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、滑らかな射影多様体における超曲面除不尽の補集合への非アルキメデス的解析写像を調査し、このような写像が代数的退化または定数写像であるための条件を確立する。$\mathbb{P}^n\setminus\bigcup_{i=1}^n D_i$ は、各 $D_i$ が次数2以上の一般超曲面であるとき $K$-超曲面的であることが示され、$\mathbb{P}^2\setminus\bigcup_{i=1}^2 D_i$ は $\deg D_1 + \deg D_2 \geq 4$ のとき $K$-超曲面的である。また、具体的な構成により、この境界が鋭いことが示されている。

ABSTRACT

We study the degeneration dimension of non-archimedean analytic maps into the complement of hypersurface divisors of smooth projective varieties. We also show that there exist no non-archimedean analytic maps into $P^n\setminus\cup_{i= 1}^n D_i$ where $D_i, 1\le i\le n$, are hypersurfaces of degree at least 2 in general position and intersecting transversally. Moreover, we prove that there exist no non-archimedean analytic maps into $P^2\setminus\cup_{i=1}^2 D_i$ when $D_1, D_2$ are generic plane curves with deg$D_1+$deg$D_2\ge 4$.

研究の動機と目的

• 滑らかな射影多様体における超曲面除不尽の補集合への非アルキメデス的解析写像の退化および超曲面的性を研究すること。
• Brody超曲面的性およびGreen-Griffiths型予想の非アルキメデス的類似を、複数の超曲面の補集合へ拡張すること。
• 特に $\mathbb{P}^n$ および $\mathbb{P}^2$ において、このような写像が代数的退化または定数写像であるための鋭い条件を確立すること。
• 超曲面的性が成り立たない場合の非定数解析写像の具体的な構成を提供し、境界の鋭さを示すこと。
• $\mathbb{P}^n$ 内の $n$ 個の一般超曲面（次数 $\geq 2$）の補集合について、非アルキメデス的バージョンのKobayashi-Zaidenberg予想を検証すること。

提案手法

• 除不尽の超曲面を避ける解析写像の成長を制御するため、非アルキメデス的ネヴァンリンナ理論の第二主要定理（Ru [10]）の使用。
• 一般位置条件を用いて超曲面の横断的交わりを保証し、それらの共通部分の余次元を制御すること。
• 非アルキメデス的設定におけるピカールの定理の適用により、問題を曲線への還元すること。
• ベズォウの定理を用いて交点多重度を評価し、交点条件を満たさない場合には非定数写像が存在しないことを排除すること。
• 直線および放物線の有理パラメータ表示を用いた非定数解析写像の具体的な構成。
• 座標の線形変換を用いて標準形（例えば $D_1 = \{X_0 = 0\}$, $D_2 = \{X_1 = 0\}$）に還元し、非定数写像の明示的検証を行うこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな射影多様体 $\mathbb{P}^n$ 内の $n$ 個の超曲面の次数および位置にどのような条件を課すと、補集合 $\mathbb{P}^n \setminus \bigcup_{i=1}^n D_i$ が $K$-超曲面的になるか？
• RQ2 $\mathbb{P}^2 \setminus (D_1 \cup D_2)$ が非定数非アルキメデス的解析写像を許容するのはいつか？また、いつ $K$-超曲面的になるか？
• RQ3 滑らかな射影多様体 $X$ に対して、非定数解析写像 $f: K \to X \setminus \bigcup_{i=1}^q D_i$ の像のザリスキ閉包の最大次元は何か？
• RQ4 接点および変曲点の条件は、直線と放物線を除いた $\mathbb{P}^2$ への非定数解析写像の存在にどのように影響するか？
• RQ5 「$\sum_{i=1}^q \deg D_i \geq 2n$ かつ $q \leq n$」のとき、$\mathbb{P}^n \setminus \bigcup_{i=1}^q D_i$ は $K$-超曲面的であるという予想は正しいか？また、どのような条件下で鋭いか？

主な発見

• 滑らかな射影 $n$ 重多様体 $X$ および一般位置にある $q$ 個の超曲面 $D_i$ に対して、任意の非アルキメデス的解析写像 $f: K \to X \setminus \bigcup_{i=1}^q D_i$ の像は、余次元 $\min\{n+1, q\} - 1$ の部分多様体に含まれる。
• $\mathbb{P}^n \setminus \bigcup_{i=1}^n D_i$ は、各 $D_i$ が次数2以上の一般超曲面であるとき $K$-超曲面的である。これは、$n$ 個の超曲面に対して非アルキメデス的バージョンのKobayashi-Zaidenberg予想を証明する。
• $\mathbb{P}^2 \setminus \bigcup_{i=1}^2 D_i$ は $\deg D_1 + \deg D_2 \geq 4$ のとき $K$-超曲面的であり、$\deg D_1 = 1$, $\deg D_2 = 2$ の場合の具体的な構成により、この境界が鋭いことが示されている。
• $D_1$ が直線で $D_2$ が $D_1$ に最大変曲点で接する放物線であるとき、$\mathbb{P}^2 \setminus (D_1 \cup D_2)$ に非定数解析写像が存在する。これは、この場合に超曲面的性が成り立たないことを示している。
• $D_1$ が直線で $D_2$ が $D_2$ の最大変曲点で交わらない三次以上曲線であるとき、$\mathbb{P}^2 \setminus (D_1 \cup D_2)$ は $K$-超曲面的である。これは、非定数写像が交点数が多すぎる曲線を介して因数分解されなければならないためである。
• $\mathbb{P}^2 \setminus \{X_0=0\} \cup \{X_1=0\}$ 内の $f(z) = (1,1,z)$ の例は、$K$-超曲面的性が二つの座標超平面に対して成り立たないことを示しており、像は原点を除く直線上にある。これは、余次元の境界が鋭いことを示している。