[論文レビュー] Non-Associative Algebras and Quantum Physics -- A Historical Perspective

Manfred Liebmann, Horst Rühaak+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2019

Quantum Mechanics and Applications参考文献 51被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、非可換代数を用いた量子力学の一般化に関する歴史的取り組みをレビューし、パスカル・ヨルダンのジョルダン代数、オクタニオン行列代数、非冪可換構造に関する研究に焦点を当てる。特に、オクタニオン上の3×3エルミート行列からなる例外的ジョルダン代数が、非可換な量子形式主義の候補であると強調し、非可換幾何学の最近の発展と、量子理論と時空構造を統合する可能性について論じる。

ABSTRACT

We review attempts by Pascual Jordan and other researchers, most notably Lawrence Biedenharn to generalize quantum mechanics by passing from associative matrix or operator algebras to non-associative algebras. We start with Jordan's work from the early 1930ies leading to Jordan algebras and the first attempt to incorporate the alternative ring of octonions into physics. Jordan's work on the octonions from 1932 till 1952 will be covered, discussing aspects of the exceptional Jordan algebra and how to express probabilities when working with the octonions and the exceptional Jordan algebra. From the 1950ies onwards Jordan and others also considered one-sided distributive systems like near-fields, near-rings, quasi-fields and exceptional Segal systems (the last two examples being not necessarily associative). As the set of non-linear operators forms a near-ring and even a near-algebra, this may be of interest for attempts to pass from a linear to a non-linear setting in the study of quantum mechanics. Moreover, ideas introduced in the late 1960ies to use non-power-associative algebras to formulate a theory of a minimal length will be covered. Lawrence Biedenharn's and Jordan's ideas related to non-power-associative octonionic matrix algebras will be briefly mentioned, a long section is devoted to a summary of Horst Rühaak's PhD thesis from 1968 on matrix algebras over the octonions. Finally, recent attempts to use non-associative algebras in physics will be described.

研究の動機と目的

• パスカル・ヨルダンの業績を通じて、非可換代数的構造が量子力学にどのように一般化されてきたかを歴史的にたどること。
• ヨルダンが可換代数を超えた量子力学の一般化を試みたこと、特にオクタニオンと例外的ジョルダン代数に関する研究を検討すること。
• 非可換枠組みの挑戦と制限、たとえばジョルダン代数におけるテンソル積の不成立、分配法則や冪可換性に関する問題を明らかにすること。
• 歴史的取り組みを、非可換幾何学の現代的発展と結びつけ、量子重力や素粒子物理学への可能性を検討すること。
• 特に例外的ジョルダン代数を含む非可換代数が、確率的解釈を伴う一般化された量子理論を定式化する上で実現可能かどうかを評価すること。

提案手法

• 1930年代から1960年代にかけてのヨルダンの未発表および発表済みの業績を体系的にレビューし、特に代数的環とオクタニオンに関する研究を分析する。
• 1968年のホルスト・ルーハク博士論文におけるオクタニオン上の4×4エルミート行列の分析。非冪可換構造と弱い可換性に注目する。
• 非線形作用素からなる近似環と近似代数の検討。線形設定を超えた量子力学の一般化の必要性に起因する。
• 非分配的かつ非冪可換な代数を、量子力学における最小長スケール理論の候補として検討する。
• 現代的発展の統合、たとえばデュボア＝ヴィオレットのほぼ古典的量子幾何学とバーマンのLie-Jordan代数および一般化されたベクトルバンドルに関する研究。
• 滑らかな関数代数と有限次元ジョルダン代数（例：例外的ジョルダン代数）のテンソル積を用い、非可換量子時空をモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジョルダン代数やオクタニオン行列代数といった非可換代数は、可換作用素代数を超えた量子力学の妥当な一般化を提供できるか？
• RQ2 オクタニオン上の3×3エルミート行列からなる例外的ジョルダン代数のような非可換構造において、量子力学の確率的解釈をどのように拡張できるか？
• RQ3 非冪可換性が、量子力学における測定の公理とスペクトル論に与える影響は何か？
• RQ4 なぜジョルダン代数のテンソル積はジョルダン代数とならないのか？そして、多粒子量子系の文脈で、この障害をどのように乗り越えられるか？
• RQ5 デュボア＝ヴィオレットとバーマンが提唱する非可換幾何学は、統一的量子重力理論や素粒子物理学モデルの基盤として、どの程度有効に機能するか？

主な発見

• オクタニオン上の4×4エルミート行列の代数は非冪可換であり、ジョルダン代数ではないが、idempotent（冪等）元を支持するジョルダン部分代数を含む。
• オクタニオン上の3×3エルミート行列からなる例外的ジョルダン代数は、非可換な量子形式主義において確率を定義する一貫性のある枠組みを提供する。
• ジョルダン代数のテンソル積はジョルダン代数ではなく、非可換な量子理論における多粒子状態の定義に根本的な障害をもたらす。
• バーマンのLie-Jordan代数と一般化されたベクトルバンドルに関する研究は、Lie積とジョルダン積を併せ持つ代数を導入することで、テンソル積問題の解決策を提供する可能性を示している。
• 非可換幾何学、たとえばミンコフスキー時空上の滑らかな関数と例外的ジョルダン代数のテンソル積は、ほぼ古典的量子時空のモデルとして提案されている。
• 膨大な努力にもかかわらず、空間座標のための完全なローレンツ不変非冪可換代数は構成されなかったが、2次元の直交性不変例は達成された。