[論文レビュー] Non-asymptotic deviation inequalities for smoothed additive functionals in non-linear state-space models

Cyrille Dubarry, Sylvain Le Corff|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2010

Statistical Methods and Inference参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、非線形状態空間モデルにおける滑らかな加法的汎関数の非漸近的偏差不等式を、前方フィルタリング後方スムージング（FFBS）および前方フィルタリング後方シミュレーション（FFBSi）の粒子法を用いて確立する。両推定器のLq平均誤差および指数的偏差境界が、強い混合条件のもとでTとNの比T/Nにのみ依存することを示し、従来のT/√Nの境界を改善する。

ABSTRACT

The approximation of fixed-interval smoothing distributions is a key issue in inference for general state-space hidden Markov models (HMM). This contribution establishes non-asymptotic bounds for the Forward Filtering Backward Smoothing (FFBS) and the Forward Filtering Backward Simulation (FFBSi) estimators of fixed-interval smoothing functionals. We show that the rate of convergence of the Lq-mean errors of both methods depends on the number of observations T and the number of particles N only through the ratio T/N for additive functionals. In the case of the FFBS, this improves recent results providing bounds depending on T and the square root of N.

研究の動機と目的

• 非線形状態空間モデルにおける滑らかな加法的汎関数の非漸近的Lq平均誤差境界を導出すること。
• FFBSおよびFFBSi推定器のための指数的偏差不等式を確立すること。
• 強い混合条件のもとで、誤差境界がTとNの比T/Nにのみ依存することを示すこと。
• 従来のT/√N依存性に代えてT/N依存性を示すことで、先行研究を改善すること。
• モンテカルロ実験を通じて理論的結果の妥当性を検証すること。

提案手法

• 推定のための逐次モンテカルロ法、特にFFBSおよびFFBSiアルゴリズムを用いて、固定区間スムージング分布を近似する。
• FFBSアルゴリズムは後方重みを変更するが、粒子は固定されたままにされ、一方FFBSiは後方パスで全軌道を再サンプリングする。
• Lq平均誤差境界は、モーメント不等式および遷移核の強い混合条件を用いて導出される。
• 指数的偏差不等式は、特に依存性のある確率変数の和の尾確率を制御する補題4を用いた集中不等式によって確立される。
• 誤差の分解を前方および後方成分に分け、オシレーショングノムおよび混合係数を用いて境界を導出する。
• 技術的補題（例：補題3および補題4）を用いて、モーメントおよび集中条件の下で確率変数の比および和の尾挙動を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 FFBSおよびFFBSi推定器のLq平均誤差は、TとNの比T/Nにのみ依存するか？
• RQ2 FFBSおよびFFBSiの両者に対して、同じTとN依存性を持つ指数的偏差不等式を確立できるか？
• RQ3 新しい境界は、T/√N依存性に依存する従来の結果とどのように比較されるか？
• RQ4 強い混合などの条件下で、これらの改善された境界は成立するか？
• RQ5 数値実験を通じて理論的境界を検証できるか？

主な発見

• 強い混合条件のもとで、FFBSおよびFFBSi推定器のLq平均誤差は、TとNの比T/Nにのみ依存する項によって上界で抑えられる。
• 任意のq ≥ 2に対して、Lq平均誤差境界はT/Nのオーダーであり、従来のT/√N依存性よりも改善されている。
• 同じTとN依存性を持つ指数的偏差不等式が確立され、FFBSでは尾確率がexp(−CNε / (T/N))、FFBSiではexp(−CNε² / (T/N))の速度で減少することが示された。
• 境界は（i）一様有界な経路依存汎関数および（ii）強い混合のもとでの非正規化加法的汎関数の両方に対して成立する。
• モンテカルロ実験により理論的主張が支持され、誤差率のT/N依存性が確認された。
• 解析により、FFBSおよびFFBSiにおける後方サンプリング機構が、粒子スムージングにおける経路の崩壊問題を効果的に制御することが示された。