[論文レビュー] Non-autonomous conformal graph directed Markov systems

Jason Atnip|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非定常的で時間依存する写像と変化する頂点集合を伴う非定常的自己相似的グラフ指向マルコフ系（NCGDMS）を導入し、定常的および非定常的反復関数系を一般化する。部分指数的成長とバランス条件の下で、ハウスドルフ次元に対するボーウェンの公式を確立し、楕円関数の非定常的アフィン摂動のジュリア集合の次元に対する下界を証明する。これは、従来の定常的および有限非定常的設定を超えて、既知の結果を拡張するものである。

ABSTRACT

In this paper we introduce and develop the theory of non-autonomous graph directed Markov systems which is a generalization of the theory of conformal graph directed Markov systems of Mauldin and Urbański, first presented in their book, and the theory of non-autonomous conformal iterated function systems set forth by Rempe-Gillen and Urbański. We exhibit several large classes of functions for which Bowen's formula for Hausdorff dimension holds. In particular we consider weakly balanced finite systems, where we have some control over the growth of the derivatives, and ascending systems. Our results, particularly for ascending systems, generalize and go well beyond what is currently known for autonomous graph directed Markov systems and non-autonomous iterated function systems. We also provide an application to non-autonomous conformal dynamics by estimating the Hausdorff dimension of the Julia set of non-autonomous affine perturbations of an elliptic function from below.

研究の動機と目的

• 時間依存する写像と変化する頂点集合を伴う自己相似的グラフ指向マルコフ系の理論を非定常的設定に一般化すること。
• 非定常的系においてボーウェンの公式が成り立つ条件を確立すること、特にアルファベットの部分指数的成長と微分のバランス条件の下で成り立つこと。
• 自己相似的力学系におけるハウスドルフ次元の結果を非定常的自己相似的力学系へと拡張すること、特に摂動された楕円関数のジュリア集合への応用を含むこと。
• 有限の正則性や部分指数的有界性といった仮定を、上昇系といった新しいクラスによって緩和すること。
• 無限または増加する頂点集合を伴う非定常的・非定常的自己相似的系における極限集合のハウスドルフ次元を推定するためのフレームワークを提供すること。

提案手法

• 時間依存する写像、頂点集合、接続行列を伴う非定常的自己相似的グラフ指向マルコフ系（NCGDMS）を導入する。
• 各時刻における頂点数に部分指数的成長を課す：limₙ→∞ (1/n)log#I⁽ⁿ⁾ = 0。
• 圧力関数の技法を適用し、微分のバランス条件を導入する：limₙ→∞ (1/n)log(supₐ,ᵦ∈I⁽ⁿ⁾ ||Dφₐ⁽ⁿ⁾|| / ||Dφᵦ⁽ⁿ⁾||) = 0。
• 逆写像と自己相似的歪度推定を用いて極限集合の幾何を制御し、圧力推定を導出する。
• I⁽ⁿ⁾ ⊆ I⁽ⁿ⁺¹⁾を満たす上昇系を構成することで、成長制約を緩和し、厳密な部分指数的境界がなくても次元結果を証明する。
• アフィン摂動の非定常的力学系を分析することで理論を応用し、そのジュリア集合の次元の下界を推定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非定常的自己相似的グラフ指向マルコフ系において、ハウスドルフ次元に対するボーウェンの公式が成り立つ条件は何か？
• RQ2 非定常的系において、アルファベットサイズの部分指数的成長条件を緩和または取り除くことは可能か？
• RQ3 この理論は、非定常的自己相似的力学系におけるジュリア集合のハウスドルフ次元を推定するためにどのように応用できるか？
• RQ4 微分のバランスと接続行列の構造は、ボーウェンの公式の有効性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 増加する頂点集合を伴う上昇系は、定常的または有限非定常的系では得られない次元推定を可能にするか？

主な発見

• 部分指数的成長と微分のバランス条件の下で、有限正則なNCGDMSに対してボーウェンの公式が成り立つ：HD(J_Φ) = B_Φ。
• I⁽ⁿ⁾ ⊆ I⁽ⁿ⁺¹⁾を満たす上昇系に対して、従来の定常的および有限非定常的系を超えて一般化された次元結果が確立された。
• 楕円関数の非定常的アフィン摂動のジュリア集合のハウスドルフ次元は、楕円関数の位数qに対して2q/(q+1)以上である。
• 指定された条件下で、圧力関数のゼロ点B_Φがハウスドルフ次元に等しいことが示され、新しい非定常的設定においてボーウェンの公式が確認された。
• 証明技法により、力学系Fの双曲的次元の下界が得られ、少なくとも2q/(q+1)以上であることが示された。
• このフレームワークは、無限または可算無限のコンパクト集合の族と時間依存する定義域を扱えるようになり、従来の非定常的および定常的自己相似的IFS理論を大幅に一般化した。