[論文レビュー] Non-Autonomous Maximal Regularity in Hilbert Spaces

Dominik Dier, Rico Zacher|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、時間に依存する作用素族に分数階ソボレフ正則性条件を課すことにより、ヒルベルト空間における発展方程式の非自己同型的最大正則性を確立する。作用素族が、ある $\delta>0$ に対して $\mathring{W}^{1/2+\delta,2}(I;\mathcal{L}(V,V'))$ に属するならば、解は $H$-最大正則性を示し、初期値空間として $D(A(0)^{1/2})$ をとる。これは、従来のホルダー連続性や有界 Variation 条件よりも大幅に弱めるものである。

ABSTRACT

We consider non-autonomous evolutionary problems of the form $u'(t)+A(t)u(t)=f(t)$, $u(0)=u_0,$ on $L^2([0,T];H)$, where $H$ is a Hilbert space. We do not assume that the domain of the operator $A(t)$ is constant in time $t$, but that $A(t)$ is associated with a sesquilinear form $a(t)$. Under sufficient time regularity of the forms $a(t)$ we prove well-posedness with maximal regularity in $L^2([0,T];H)$. Our regularity assumption is significantly weaker than those from previous results inasmuch as we only require a fractional Sobolev regularity with arbitrary small Sobolev index.

研究の動機と目的

• 時間に依存する作用素族が定数の定義域や滑らかさを持たない場合の、ヒルベルト空間における非自己同型発展方程式の $H$-最大正則性を確立すること。
• 従来のホルダー連続性や有界 Variation 条件を越えて、時間に依存する形式 $\mathfrak{a}(t)$ の正則性仮定を弱めること。
• 任意に小さい指数 $\delta>0$ を持つ分数階ソボレフ正則性が、$L^2(I;H)$ における最大正則性を保証するのに十分であることを示すこと。
• この正則性条件下で、解のトレース空間が $D(A(0)^{1/2})$ に一致することを特定すること。これは、自己同型の場合と一致する。

提案手法

• 著者たちは、ヒルベルト三重体 $V \hookrightarrow H \hookrightarrow V'$ 上での時間に依存するセミ線形形式 $\mathfrak{a}(t)$ を用いて、非自己同型問題をモデル化する。
• 関連作用素族 $A(t)$ を $\mathcal{A}(t)v = \mathfrak{a}(t,v,\cdot)$ により定義し、$D(A(t)) = \{v \in V : \mathcal{A}(t)v \in H\}$ と定める。
• 主な手法的革新は、$\mathcal{A}(\cdot)$ の時間正則性を測るため、同次分数階ソボレフ空間 $\mathring{W}^{1/2+\delta,2}(I;\mathcal{L}(V,V'))$ を用いることである。$\delta > 0$ に対して $\int_I \int_I \frac{\|\mathcal{A}(t)-\mathcal{A}(s)\|_{\mathcal{L}(V,V')}}{|t-s|^{2+2\delta}} \, dt \, ds < \infty$ を要請する。
• $V'$ 上での最大正則性理論を用い、埋め込みとトレースの議論により $H$-正則性を導出する。分数階ソボレフ埋め込み $\mathring{W}^{1/2+\delta,2}(I;\mathcal{L}(V,V')) \hookrightarrow C(I;\mathcal{L}(V,V'))$ を活用する。
• 証明は、事前推定と双対性に依拠し、$\alpha = 1/2 + \delta$ の分数階微分のノルム表記 $\|\partial^\alpha u\|_{L^2_H}^2 \sim \int_{\mathbb{R}} \int_{\mathbb{R}} \frac{\|u(t)-u(s)\|^2_H}{|t-s|^{1+2\alpha}} \, dt \, ds$ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホルダー連続性（指数 $\alpha > 1/2$）よりも厳密に弱い正則性仮定のもとで、$H$-最大正則性を確立できるか？
• RQ2 指数 $1/2 + \delta$（$\delta > 0$）の分数階ソボレフ正則性が、非対称な場合を含む非自己同型ケースにおいても $H$-最大正則性を保証するのに十分か？
• RQ3 時間依存性 $A(t)$ が $\mathring{W}^{1/2+\delta,2}(I;\mathcal{L}(V,V'))$ に属する場合、解の最適なトレース空間は何か？
• RQ4 ホルダー条件（$\alpha > 1/2$）と有界 Variation 仮定の間のギャップを、分数階ソボレフ正則性によって埋められるか？

主な発見

• ある $\delta > 0$ に対して $\mathcal{A}(\cdot) \in \mathring{W}^{1/2+\delta,2}(I;\mathcal{L}(V,V'))$ ならば、非自己同型問題 $u' + A(t)u = f$, $u(0) = 0$ は $L^2(I;H)$ で $H$-最大正則性を示す。
• 解のトレース空間は $D(A(0)^{1/2})$ であり、これは自己同型の場合と一致する。非自己同型の時間依存性下でも成立する。
• 解空間 $\text{MR}$ は $H^{1/2}(I;V)$ に連続的に埋め込まれており、$L^2(I;V)$ よりも高い正則性を示している。
• 従来のホルダー連続性や有界 Variation 仮定の下での結果を一般化する。$\mathring{W}^{1/2+\delta,2}(I;\mathcal{L}(V,V'))$ は $C^{1/2+\delta}(I;\mathcal{L}(V,V'))$ を厳密に含み、有界 Variation よりも弱い。
• この手法は非対称形式にも適用可能であり、従来の結果が対称形式に限られていた文献のギャップを解消する。
• 分数階ソボレフ条件により、$C(I;\mathcal{L}(V,V'))$ への連続的埋め込みが可能となり、$\mathcal{A}(t)$ の点での解釈が可能になる。