[論文レビュー] Non-autonomous right and left multiplicative perturbations and maximal regularity

Mahdi Achache, El Maati Ouhabaz|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2016

Differential Equations and Boundary Problems参考文献 1被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、時間に依存するセミ線形形式および摂動項に最小限の正則性仮定をおく条件下で、形式 $ u'(t) + A(t)B(t)u(t) + P(t)u(t) = f(t) $ の非自己同型進化方程式に対して最大 $ L_p $-正則性を確立する。主な結果は、形式のモジュラスが関数 $ \omega $ を用いて Hölder 型の条件 $ \int_0^\tau \frac{\omega(t)}{t^{1+\gamma/2}} dt < \infty $ を満たし、追加の可積分性条件を満たす場合、ヒルベルト空間 $ \mathcal{H} $ において $ p \in (1,\infty) $ の範囲で最大 $ L_p $-正則性が成り立つことである。証明は、右摂動問題を左摂動問題に変換し、既存の正則性結果を適用することに依拠する。

ABSTRACT

We consider the problem of maximal regularity for non-autonomous Cauchy problems $u'(t) + B(t)A(t)u(t) + P(t)u(t) = f(t), u(0) = u_0$ and $u'(t) + A(t)B(t)u(t) + P(t)u(t) = f (t), u(0) = u_0$. In both cases, the time dependent operators $A(t)$ are associated with a family of sesquilinear forms and the multiplicative left or right perturbations $B(t)$ as well as the additive perturbation $P(t)$ are families of bounded operators on the considered Hilbert space. We prove maximal $L_p$-regularity results and other regularity properties for the solutions of the previous problems under minimal regularity assumptions on the forms and perturbations.

研究の動機と目的

• ヒルベルト空間における非自己同型進化方程式に対して、非自己同型の右および左乗法的摂動を伴う最大 $ L_p $-正則性を確立すること。
• 時間に依存する摂動項 $ B(t) $ および $ P(t) $ を許容するように、既存の最大正則性結果を拡張すること。この際、形式および作用素に最小限の正則性条件を課す。
• 従来の知られていたものよりも弱い仮定の下で、非自己同型系における $ \mathcal{H} $ における最大正則性の長年の未解決問題を解消すること。
• 左および右乗法的摂動を統合的に扱うフレームワークを提供すること、特に同時に作用する場合を含む。

提案手法

• 変数変換 $ v(t) = B(t)u(t) $ を用いて、右摂動問題 $ u' + A(t)B(t)u + P(t)u = f $ を左摂動問題に変換し、$ v' + B(t)A(t)v - B'(t)B(t)^{-1}v + B(t)P(t)B(t)^{-1}v = B(t)f $ を得る。
• 変換後の問題 $ v $ に対して、既知の左乗法的摂動に関する最大正則性結果（定理 3.6）を適用する。
• $ t \mapsto B(t) $ のリプシッツ連続性および $ B(t) $ と $ P(t) $ の有界性を用いて、変換後の問題が必要な作用素および正則性条件を満たすことを保証する。
• 形式 $ \mathfrak{a}(t) $ の連続性モジュラスにかかる主要な可積分性条件 $ \int_0^\tau \frac{\omega(t)}{t^{1+\gamma/2}} dt < \infty $ を確立する。ここで $ \omega $ は形式の時間変動を制御する。
• 解 $ A(t)B(t)u(t) $ について、$ W^{1}_p(0,\tau;\mathcal{H}) \times L_p(0,\tau;\mathcal{H}) $ における事前推定を導出し、安定性および一意性を保証する。
• 同様の変換技術を $ u' + B_0(t)A(t)B_1(t)u + P(t)u = f $ に適用することで、同時に左および右乗法的摂動が作用する場合への拡張を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間に依存するセミ線形形式および有界作用素 $ B(t) $, $ P(t) $ に対して、最小限の正則性仮定をおくと、非自己同型初期値問題 $ u' + A(t)B(t)u + P(t)u = f $ が $ \mathcal{H} $ で最大 $ L_p $-正則性を満たすための条件は何か？
• RQ2 形式 $ \mathfrak{a}(t) $ が時間に関して Hölder 継続的である場合、モジュラス $ \omega(t) $ が $ \int_0^\tau \frac{\omega(t)}{t^{1+\gamma/2}} dt < \infty $ を満たすとき、最大正則性結果は右乗法的摂動に拡張可能か？
• RQ3 左および右乗法的摂動が同時に作用する場合、最大 $ L_p $-正則性は保持されるか？ その条件は何か？
• RQ4 初期データの正則性 $ u_0 \in B(0)^{-1}(\mathcal{H}, D(A(0)))_{1-1/p,p} $ は最大正則性枠組みとどのように関係するか？
• RQ5 変換 $ v(t) = B(t)u(t) $ を用いることで、右摂動問題を、既知の正則性性質を持つ左摂動問題に還元可能か？

主な発見

• 形式 $ \mathfrak{a}(t) $ が $ |\mathfrak{a}(t,u,v) - \mathfrak{a}(s,u,v)| \leq \omega(|t-s|) \|u\|_{\mathcal{V}_\beta} \|v\|_{\mathcal{V}_\gamma} $ を満たし、さらに $ \int_0^\tau \frac{\omega(t)}{t^{1+\gamma/2}} dt < \infty $ を満たす場合、右摂動問題 $ u' + A(t)B(t)u + P(t)u = f $ は $ \mathcal{H} $ ですべての $ p \in (1,\infty) $ に対して最大 $ L_p $-正則性を有する。
• 追加条件 $ \int_0^\tau \frac{\omega(t)^p}{t^{\frac{1}{2}(\beta + p\gamma)}} dt < \infty $ が成り立つ場合、初期データ $ u_0 \in B(0)^{-1}(\mathcal{H}, D(A(0)))_{1-1/p,p} $ に対しても最大 $ L_p $-正則性が達成される。
• 解は事前推定 $ \|u\|_{W^1_p(0,\tau;\mathcal{H})} + \|A(\cdot)B(\cdot)u(\cdot)\|_{L_p(0,\tau;\mathcal{H})} \leq C\left[\|f\|_{L_p(0,\tau;\mathcal{H})} + \|B(0)u_0\|_{(\mathcal{H}, D(A(0)))_{1-1/p,p}}\right] $ を満たし、$ C > 0 $ は $ f $ および $ u_0 $ に依存しない。
• 同時に左および右乗法的摂動が作用する場合にも結果は拡張可能である：$ u' + B_0(t)A(t)B_1(t)u + P(t)u = f $ に対して、$ u_0 \in B_1(0)^{-1}(\mathcal{H}, D(A(0)))_{1-1/p,p} $ の下で同様の条件下で最大 $ L_p $-正則性が成り立つ。
• 変換 $ v(t) = B(t)u(t) $ を用いることで、右摂動問題が左摂動問題に還元され、既存の正則性理論の適用が可能になる。
• 証明は、$ t \mapsto B(t) $ のリプシッツ連続性および $ B(t) $ と $ P(t) $ の有界性に依拠しており、変換後の問題が必要な作用素および可測性条件を満たすことを保証する。