[論文レビュー] Non cancellation for smooth contractible affine threefolds

Adrien Dubouloz, Lucy Moser-Jauslin+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2010

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、相異なる複素数パラメータ $a \neq b$ に対して、非同型の滑らかで可縮可能なアフィン3次元多様体 $X_a$ と $X_b$ を構成し、それらのシリンダー $X_a \times \mathbb{A}^1$ と $X_b \times \mathbb{A}^1$ が同型であることを証明することで、滑らかで可縮可能なアフィン3次元多様体に対する一般化されたキャンセレーション問題の最初の反例を提供する。代数的構造が非同型であるにもかかわらず、これらの多様体は複素解析的多様体としてbiholomorphicであるため、同型でないがbiholomorphicなエキゾチックな $\mathbb{A}^3$ の最初の例が得られる。

ABSTRACT

We construct two non isomorphic contractible affine threefolds X and Y with isomorphic cylinders, showing that the generalized Cancellation Problem has a negative answer in general for contractible affine threefolds. We also establish that X and Y are actually biholomorphic as complex analytic varieties, providing the first example of a pair of biholomorphic but not isomorphic exotic affine 3-spaces.

研究の動機と目的

• 滑らかで可縮可能なアフィン3次元多様体に対する一般化されたキャンセレーション問題を解決するため、$X \times \mathbb{A}^1 \cong Y \times \mathbb{A}^1$ だが $X \not\cong Y$ となる反例を構成すること。
• エキゾチックな $\mathbb{A}^3$（滑らかで可縮可能で、$\mathbb{A}^3$ と同型ではないもの）が、複素解析的多様体としてbiholomorphicであるかどうかを調査すること。
• 方程式 $x^n y + z^2 + t^3 + x p(x) = 0$ で定義されるアフィン3次元多様体の族 $X_{n,p}$ を同型とシリンダ同型に関して分類すること。
• 対数的カウラー次元の条件がキャンセレーションを保証することは知られているが、可縮可能多様体において3次元では非キャンセレーションが生じ得ることを示すこと。

提案手法

• パラメータ $a \in \mathbb{C}$ でパラメータ化された、$\mathbb{A}^4$ 内の滑らかなアフィン3次元多様体 $X_a \subset \mathbb{A}^4$ の1パラメータ族を定義し、$x^4 y + z^2 + t^3 + x + x^2 + a x^3 = 0$ で与えられ、それが可縮可能で $\mathbb{A}^3$ と同型でないことを証明する。
• $\mathbb{G}_a$-作用とエタールな自明化の理論を用いて、シリンダー $X_a \times \mathbb{A}^1$ の構造を分析し、共通の商空間 $\mathfrak{S}$ を通じて同型であることを示す。
• $X_a$ および $Y_a$（関連する族）上の $\mathbb{G}_a$-バンドルが、$x, \lambda, v$ に関する有理関数を用いて明示的な Čech 1-コチェインを構成し、それがコバウンダリーであることを示すことにより、それらが自明であることを確立する。
• 商写像 $X_a \times \mathbb{A}^1 \to \mathfrak{S}$ および $Y_a \times \mathbb{A}^1 \to \mathfrak{S}$ が $\mathbb{G}_a$-バンドルとして自明であることを証明し、共通のスキーム $W$ に対して $X_a \times \mathbb{A}^1 \cong W \cong Y_a \times \mathbb{A}^1$ が成り立つことから、シリンダーが同型であることを示す。
• Dimcaの結果により、多様体 $X_a$ が $\mathbb{R}^6$ と微分同相であることを用いて、それらがエキゾチックな $\mathbb{A}^3$ であることを結論づけ、明示的な解析的同型写像を用いてbiholomorphicであることを示す。
• $\mathbb{A}^1$-ファイブレーションの分類および因子的3次元多様体における退化ファイバーの構造を活用し、異なる $a$ に対して $X_a$ が同型でないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかで可縮可能なアフィン3次元多様体において、多様体同士が同型でないにもかかわらずそのシリンダーが同型である場合、一般化されたキャンセレーション問題が成立しないことはあり得るか？
• RQ2 同型でないが複素解析的多様体としてbiholomorphicなエキゾチックな $\mathbb{A}^3$ のペアは存在するか？
• RQ3 方程式 $x^4 y + z^2 + t^3 + x + x^2 + a x^3 = 0$ で定義される族 $X_a$ のシリンダー $X_a \times \mathbb{A}^1$ の構造は何か？他の類似する多様体とどのように関係するか？
• RQ4 パrameter $a$ が異なっても、$X_a \times \mathbb{A}^1$ の同型型が一定のままであることはあるか？
• RQ5 2次元では成立するが、3次元では因子的で可縮可能な多様体に対してもキャンセレーションの失敗が生じるのか？

主な発見

• 方程式 $x^4 y + z^2 + t^3 + x + x^2 + a x^3 = 0$ で定義される多様体 $X_a$ は、任意の $a \in \mathbb{C}$ に対して滑らかで可縮可能であり、$\mathbb{A}^3$ と同型でないため、エキゾチックな $\mathbb{A}^3$ であることが保証される。
• すべての $a \in \mathbb{C}$ に対して、シリンダー $X_a \times \mathbb{A}^1$ は互いに同型である。これは、滑らかで可縮可能なアフィン3次元多様体に対する一般化されたキャンセレーション問題の最初の反例を提供する。
• $a \neq b$ のとき、代数的多様体としての $X_a$ と $X_b$ は互いに非同型であるが、それらのシリンダーは同型である。
• 複素解析的多様体として、すべての多様体 $X_a$ は互いにbiholomorphicである。これは、同型ではないがbiholomorphicなエキゾチックな $\mathbb{A}^3$ の最初の例である。
• シリンダー $X_a \times \mathbb{A}^1$ の同型型は $a$ に依存しない。これは共通の商 $\mathfrak{S}$ と $X_a$、$Y_a$ 上の $\mathbb{G}_a$-バンドルの自明化（明示的な Čech コチェインのコバウンダリー条件）によって示される。
• この構成により、低次元ではキャンセレーションを保証する対数的カウラー次元の条件が、可縮可能多様体において3次元ではキャンセレーションを防げないことが示された。