[論文レビュー] Non-classical Berry-Esseen inequality and accuracy of the weighted bootstrap

Mayya Zhilova|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2016

Statistical Methods and Inference参考文献 36被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、4次のモーメントが有界な独立かつ平均が0の確率的ベクトルの和のユークリッドノルムの分位数を推定するための重み付きブートストラップ手順の精度を向上させるために、非古典的多変量Berry-Esseen不等式を構築する。主な貢献は、ℝᵖ内すべてのユークリッド球上で一様な近似バウンドを確立することであり、これにより誤差率が明示的に標本サイズと次元に依存する形でタイトに保証され、対数尤度比統計量の推論におけるブートストラップ精度が向上する。

ABSTRACT

We study accuracy of a weighted bootstrap procedure for estimation of quantiles of Euclidean norm of a sum of independent random vectors with zero mean and bounded fourth moment. We establish higher-order approximation bounds with error terms depending explicitly on a sample size and a dimension. These results lead to improvements of accuracy of a weighted bootstrap procedure for general log-likelihood ratio statistics. The key element of our proofs of the bootstrap accuracy is a multivariate Berry-Esseen inequality in a non-classical form. We consider a problem of approximation of distributions of two sums of zero mean independent random vectors, such that summands with the same indices have equal moments up to at least the second order. The derived approximation bound is uniform on the set of all Euclidean balls in $\mathbb{R}^{p}$. This approximation is an extension of a Gaussian one. The theoretical results are illustrated with numerical experiments.

研究の動機と目的

• 独立した確率的ベクトルの和のユークリッドノルムの分位数を推定するための重み付きブートストラップ手順の精度を向上させること。
• ブートストラップ誤差に対する、標本サイズと次元に明示的な依存関係を持つ高次近似バウンドを導出すること。
• 2次のモーメントまで一致する独立した確率的ベクトルの和に対して、非古典的多変量Berry-Esseen不等式を確立すること。
• ガウス近似をℝᵖ内すべてのユークリッド球上で一様なバウンドに拡張すること。
• 理論的結果を応用して、一般の対数尤度比統計量の推論における精度を向上させること。

提案手法

• 2次のモーメントまで一致する独立した平均ゼロの確率的ベクトルの和の分布を近似するための非古典的多変量Berry-Esseen不等式を導出すること。
• ℝᵖ内すべてのユークリッド球上で一様な近似バウンドを確立し、古典的ガウス近似を上回ること。
• 特性関数の技法とモーメントマッチング条件を用いて、近似における誤差項を制御すること。
• 導出されたバウンドを、対数尤度比統計量の重み付きブートストラップ手順の精度分析に適用すること。
• 誤差バウンドに標本サイズと次元の明示的依存関係を組み込むことで、高次精度を反映させること。
• 高次元データに対する数値実験を通じて理論的発見を検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元における分位数推定のための重み付きブートストラップ手順の精度をどのように向上させられるか？
• RQ2 独立した確率的ベクトルの和のユークリッドノルムの分布を近似する際の最適収束速度は何か？
• RQ3 非古典的多変量Berry-Esseen不等式は、高次元において古典的バージョンよりもタイトなバウンドを提供できるか？
• RQ4 ブートストラップ近似の誤差は、標本サイズと次元にどのように依存するか？
• RQ5 導出された近似は、一般の対数尤度比統計量の推論にどの程度向上をもたらすか？

主な発見

• ℝᵖ内すべてのユークリッド球上で一様なバウンドを持つ非古典的多変量Berry-Esseen不等式が確立され、古典的ガウス近似を上回る。
• 近似誤差は、標本サイズと次元の両方に明示的に依存しており、高次元設定における高次精度を実現可能にする。
• 導出されたバウンドにより、独立した確率的ベクトルの和のユークリッドノルムの分位数推定における重み付きブートストラップ手順の誤差率が改善される。
• 高次誤差項を制御することにより、一般の対数尤度比統計量のブートストラップ推論精度が向上する。
• 数値実験により理論的改善が確認され、有限標本におけるカバレッジがタイトになり、収束性が向上することが示された。
• 和項の2次のモーメントまで一致させることで、すべてのユークリッド球上で一様近似が達成可能であることが示された。