[論文レビュー] Non-classifiability of Ergodic Flows up to Time Change

Marlies Gerber, Philipp Kunde|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2021

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、測度を保存する力学系のKakutani同値関係がBorel集合でないことを確立し、Kakutani同値による分類が本質的に分類不能であることを証明する。不健全な木の空間からの連続的還元を用いて、非自明な円作用をもつコンパクトな曲面上のエルゴディックな$C^\infty$微分同相写像および2次元トーラス上の実解析的微分同相写像においても、この反分類結果が成り立つことを示している。

ABSTRACT

A time change of a flow $\{T_t\}$, ${t\in\mathbb{R}}$, is a reparametrization of the orbits of the flow such that each orbit is mapped to itself by an orientation-preserving homeomorphism of the parameter space. If a flow $\{S_t\}$ is isomorphic to a flow obtained by a reparametrization of a flow $\{T_t\}$, then we say that $\{S_t\}$ and $\{T_t\}$ are isomorphic up to a time change. For ergodic flows $\{S_t\}$ and $\{T_t\}$, Kakutani showed that this happens if and only if the two flows have Kakutani equivalent transformations as cross-sections. We prove that the Kakutani equivalence relation on ergodic invertible measure-preserving transformations of a standard non-atomic probability space is not a Borel set. This shows in a precise way that classification of ergodic transformations up to Kakutani equivalence is impossible. In particular, our results imply the non-classifiability of ergodic flows up to isomorphism after a time change. Moreover, we obtain anti-classification results under isomorphism for ergodic invertible transformations of a sigma-finite measure space. We also obtain anti-classification results under Kakutani equivalence for ergodic area-preserving smooth diffeomorphisms of the disk, annulus, and 2-torus, as well as real-analytic diffeomorphisms of the $2$-torus. Our work generalizes the anti-classification results under isomorphism for ergodic transformations obtained by Foreman, Rudolph, and Weiss.

研究の動機と目的

• Kakutani同値性の分類可能性がBorel手法によって可能かどうかという未解決問題を解消すること。
• 同型に関する反分類技法を、エルゴディック理論におけるより弱く自然な同値関係であるKakutani同値に拡張すること。
• コンパクトな曲面および2次元トーラス上の滑らかおよび実解析的微分同相写像について、分類不能性の結果を確立すること。
• これらの設定において、Kakutani同値性の完全不変量としてのBorel関数が存在しないことを示すこと。

提案手法

• 非自明な木の空間から、円作用をもつコンパクト曲面上のエルゴディックな$C^\infty$微分同相写像の空間への連続的還元を構成する。
• オドメータに基づく系を円的系に写す関手を用い、パラメータ依存の構成によりその円的系を滑らかな微分同相写像として実現する。
• パラメータ$l_n$の成長・減衰率の条件を用いて、$C^\infty$微分同相写像への収束が保証され、円的系と同型であることを確認する。
• ForemanとWeiss（2019）の$C^\infty$微分同相写像空間に関する結果を活用し、微分同相写像空間の位相における近傍の振る舞いを制御する。
• 反同期同型理論を用いて、木に無限分岐が存在することと、微分同相写像とその逆写像との間のKakutani同値性を結びつける。
• 実現写像$R$を用いて、記号的系から滑らかな微分同相写像へのKakutani同値性の性質を移し、同値構造を保つ。

Figure 7.1. Visualization of the substitution step.

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測度を保存する力学系のKakutani同値関係はBorel集合か？
• RQ2 同型に用いられる反分類技法をKakutani同値に拡張できるか？
• RQ3 滑らかおよび実解析的カテゴリーにおいて、分類不能性の結果は成立するか？
• RQ4 不健全な木の空間から、Kakutani同値性が無限分岐の存在に対応する、エルゴディックな$C^\infty$微分同相写像の空間への連続的還元が存在するか？
• RQ5 同様の手法を2次元トーラス上の実解析的微分同相写像に適応できるか？

主な発見

• 測度を保存する力学系のKakutani同値関係はBorel集合でない。これは、Kakutani同値による分類が明確な意味で分類不能であることを証明する。
• 反分類結果は、非自明な円作用をもつコンパクト曲面上のエルゴディックな$C^\infty$微分同相写像に対しても拡張可能である。
• 2次元トーラス上の実解析的微分同相写像に対しても、分類不能性の結果が成り立つ。これは、実解析的カテゴリーにおいても分類不能性が成立することを示している。
• 無限分岐をもつ木が、その逆写像とKakutani同値である微分同相写像に写される連続的還元$F^s$を構成した。
• 構成により、得られる微分同相写像は測度論的に円的系と同型であり、Kakutani同値性の性質が保たれている。
• パラメータ列$(l_n)$における成長率の慎重な選択により、$C^\infty$滑らかさと円的系との同型性を保証するパラメータ依存実現写像$R$に依存している。

Figure 9.1. Feldman patterns $F_{n,i}$ of $n$ -blocks in the $P$ -name of $x$ , their corresponding strings $\tilde{F}_{n,i}$ in the $\Phi^{-1}(P^{f})$ -name of $x$ , and the decomposition of the set $\mathbb{Z}$ of indices into $I_{i}=F_{n,l}\cap\tilde{F}_{n,\tilde{l}}$ .