[論文レビュー] Non-Clifford and parallelizable fault-tolerant logical gates on constant and almost-constant rate homological quantum LDPC codes via higher symmetries

Guanyu Zhu, Shehryar Sikander+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、トポロジカル量子場理論（TQFT）における高次対称性を介して、定数およびほぼ定数レートのホモロジカル量子LDPC符号に対する非クリフォードかつ並列化可能な誤り耐性論理ゲートを実装するフレームワークを提示する。トランスバーサルTゲートが、一点で交差する論理キュービットの集合に対して集合的CCZゲートとして作用することを確立し、三重交差数を位相的不変量として用いることで、追加のオーバーヘッドなしに、ユニバーサルでアドレス指定可能かつ並列な論理ゲート操作を可能にする。

ABSTRACT

We study parallel fault-tolerant quantum computing for families of homological quantum low-density parity-check (LDPC) codes defined on 3-manifolds with constant or almost-constant encoding rate. We derive generic formula for a transversal $T$ gate of color codes on general 3-manifolds, which acts as collective non-Clifford logical CCZ gates on any triplet of logical qubits with their logical-$X$ membranes having a $\mathbb{Z}_2$ triple intersection at a single point. The triple intersection number is a topological invariant, which also arises in the path integral of the emergent higher symmetry operator in a topological quantum field theory: the $\mathbb{Z}_2^3$ gauge theory. Moreover, the transversal $S$ gate of the color code corresponds to a higher-form symmetry supported on a codimension-1 submanifold, giving rise to exponentially many addressable and parallelizable logical CZ gates. A construction of constant-depth circuits of the above logical gates via cup product cohomology operation is also presented for three copies of identical toric codes on arbitrary 3-manifolds. We have developed a generic formalism to compute the triple intersection invariants for 3-manifolds. We further develop three types of LDPC codes supporting such logical gates: (1) A quasi-hyperbolic code from the product of 2D hyperbolic surface and a circle, with almost-constant rate $k/n=O(1/\log(n))$ and $O(\log(n))$ distance; (2) A homological fibre bundle code with $O(1/\log^{\frac{1}{2}}(n))$ rate and $O(\log^{\frac{1}{2}}(n))$ distance; (3) A specific family of 3D hyperbolic codes: the Torelli mapping torus code, constructed from mapping tori of a pseudo-Anosov element in the Torelli subgroup, which has constant rate while the distance scaling is currently unknown. We then show a generic constant-overhead scheme for applying a parallelizable universal gate set with the aid of logical-$X$ measurements.

研究の動機と目的

• 定数またはほぼ定数の符号化レートを有する量子LDPC符号に対して、ユニバーサルで並列かつ誤り耐性を持つゲートセットを開発すること。
• 従来のトランスバーサルゲートが複数の論理キュービットを個別にアドレス指定できない形で一括して作用するという制限を克服すること。
• 位相的不変量と高次形式対称性を用いて、ホモロジカル量子LDPC符号に非クリフォード論理ゲート（特にTおよびCCZゲート）を実装すること。
• 良好な符号パラメータとスケーラブルな論理ゲート構造を有する3次元多様体に基づくLDPC符号の明示的族を構築すること。
• 論理ゲートの相互作用ハイパーグラフと3次元多様体の幾何学の間の関係を確立し、効率的なマジック状態注入を可能にすること。

提案手法

• 3次元多様体における論理X膜の三重交差数を用いて、カラーレコード上のトランスバーサルTゲートの一般式を導出する。
• 論理非クリフォードゲート（CCZ）を(3+1)D Z₂³ゲージTQFTにおける0形式対称性として同定し、三重交差数を位相的不変量とする。
• 平行化可能な論理CZゲートを余次元1の部分多様体に支持される1形式対称性としてモデル化し、指数的並列化を可能にする。
• 三重交差構造を符号化する相互作用ハイパーグラフを構築し、これを直接的にハイパーグラフマジック状態にマッピングする。
• 3つのLDPC符号族を構築する：準双曲的符号、ホモロジカルファイバー束符号、トレイリーマッピングトーラス符号。各々異なるレートと距離スケーリングを有する。
• マッピングクラス群と特定のドーン回転を用いたハンドル体の貼り合わせにより、所望の位相的不変量とゲート構造を有する多様体を設計する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マジック状態蒸留のオーバーヘッドなしに、定数レートのホモロジカル量子LDPC符号において非クリフォード論理ゲートをトランスバーサルに実装可能か？
• RQ2 TQFTにおける高次形式対称性は、ホモロジカル符号における論理ゲート構造とどのように関係するか？
• RQ3 論理X膜の三重交差数は、論理ゲート操作を決定づける役割を果たすか？
• RQ4 3次元多様体トポロジーを用いて論理ゲートの相互作用ハイパーグラフを設計し、並列的かつアドレス指定可能なゲート適用を可能にできるか？
• RQ5 3次元多様体に基づくLDPC符号におけるベッチ数とシスティオルのスケーリング挙動は何か？符号化レートと距離にどのように影響するか？

主な発見

• カラーレコード上のトランスバーサルTゲートは、一点で交差する任意の論理キュービットの三重組みに対して、集合的論理CCZゲートとして作用し、三重交差数を位相的不変量として用いる。
• 三重交差数は、(3+1)D Z₂³ゲージTQFTにおける高次対称性演算子の期待値に一致し、量子符号と位相的場理論の間のリンクを提供する。
• 平行化可能な論理CZゲートはTQFTにおける1形式対称性に起因し、指数的に多くのゲートを同時に適用可能である。
• 3つのLDPC符号族を構築した：準双曲的符号（レート k/n = O(1/log n)，距離 d = O(log n)）、ホモロジカルファイバー束符号（レート O(1/log¹ᐟ² n)，距離 O(log¹ᐟ² n)）、トレイリーマッピングトーラス符号（定数レート、距離スケーリングは未定）。
• 三重交差構造を符号化する相互作用ハイパーグラフは、直接的にハイパーグラフマジック状態に対応し、低オーバーヘッドで効率的なマジック状態注入を可能にする。
• 本フレームワークにより、追加のアドオンキュービットを必要とせず、論理X測定とトランスバーサルゲートを用いて、定数オーバーヘッドのユニバーサルで並列的かつ誤り耐性のある量子計算が可能になる。