[論文レビュー] Non-commutative Krull monoids: A divisor theoretic approach and their arithmetic

Alfred Geroldinger|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2012

Rings, Modules, and Algebras参考文献 26被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、非可換Krullモノイドに対する除法的理論の枠組みを構築し、可換な設定への古典的除法理論を非可換設定に一般化する。正規化可能なKrullモノイドは除法準同型を備え、すべての非単位元が真の除法的イデアルに含まれる場合、そのモノイドは有界分解モノイドであることが示され、Davenport定数が有限である場合には、有限な弾性や長さ集合における距離の集合が有限であるといった算術的有限性の性質を示す。

ABSTRACT

A (not necessarily commutative) Krull monoid---as introduced by Wauters---is defined as a completely integrally closed monoid satisfying the ascending chain condition on divisorial two-sided ideals. We study the structure of these Krull monoids, both with ideal theoretic and with divisor theoretic methods. Among others we characterize normalizing Krull monoids by divisor theories. Based on these results we give a criterion for a Krull monoid to be a bounded factorization monoid, and we provide arithmetical finiteness results in case of normalizing Krull monoids with finite Davenport constant.

研究の動機と目的

• 可換代数的数論からの古典的結果を一般化して、非可換Krullモノイドへの除法理論の拡張を図ること。
• 除法準同型を用いて正規化可能なKrullモノイドを特徴づけ、除法的構造の非可換版を確立すること。
• イデアル論的条件に基づいて、Krullモノイドが有界分解モノイドであるかどうかを判定する基準を提供すること。
• Davenport定数が有限である正規化可能なKrullモノイドに対して、弾性、長さ集合、およびDavenport定数といった算術的有限性の結果を確立すること。

提案手法

• 可換な場合を一般化して、非可換モノイドへの除法的両側イデアルの理論を適応する。
• Krullモノイドから自由アーベルモノイドへの除法準同型を導入・研究し、算術的性質の移行を可能にする。
• クラス群上のゼロ和列のモノイドへの準同型写像を構成し、素因数の像を用いる。
• クラス群の構成を用いて、算術的問題を有限アーベル群におけるゼロ和列の研究に還元する。
• Davenport定数の有限性を用いて、弾性および長さ集合における距離の集合の有限性を導出する。
• ゼロ和列のモノイドに対して証明された長さ集合の構造定理を用いて、結果を元のKrullモノイドに戻す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換Krullモノイドが有界分解モノイドであるための条件は何か？
• RQ2 除法準同型の観点から、除法理論を非可換モノイドへどのように拡張できるか？
• RQ3 Davenport定数が有限である非可換Krullモノイドに対して、どのような算術的有限性の性質が成り立つか？
• RQ4 Krullモノイドのクラス群は、その長さ集合の構造とどのように関係するか？
• RQ5 算術的問題を組合せ的群論に還元するために、準同型写像を非可換Krullモノイドへ一般化できるか？

主な発見

• すべての非単位元が真の除法的イデアルに含まれる場合、Krullモノイドは有界分解モノイドである。
• Krullモノイドからそのクラス群上のゼロ和列のモノイドへの準同型写像が存在し、素因数の像はクラス群における素元にマッピングされる。
• クラス群のDavenport定数が有限であれば、モノイドの弾性も有限である。
• Davenport定数が有限であれば、距離の集合∆(H)は有限である。
• Davenport定数が有限である限り、パラメータM*と∆(H)を用いた長さ集合の構造定理が、このモノイドに対して成り立つ。
• 素因数を含むクラスの集合上のゼロ和列のモノイドは、Krullモノイドの本質的な算術的構造を捉えている。