[論文レビュー] Non-commutative NLS hierarchies: dressing, solutions & time-like boundaries

Anastasia Doikou, Spyridoula Sklaveniti+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2018

Nonlinear Waves and Solitons被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、行列積分型またはn階の行列微分作用素を用いて、行列非線形シュレーディンガー（NLS）階層の普遍的なダーブー・ドレッシング法を構築し、行列ゲルファンド＝レヴィタン＝マルチェンコ方程式を介して解を導出し、ラクス対の再帰関係を特定する。主な貢献は、非可換リッカティ方程式の導出とその解法であり、これにより保存量が得られ、アイルイとバーガース方程式と関連づけられる。

ABSTRACT

We consider the generalized matrix non-linear Schrodinger (NLS) hierarchy. By employing the universal Darboux-dressing scheme we derive solutions for the hierarchy of integrable PDEs via solutions of the matrix Gelfand-Levitan-Marchenko equation, and we also identify recursion relations that yield the Lax pairs for the whole matrix NLS-type hierarchy. These results are obtained considering either matrix-integral or general $n^{th}$ order matrix-differential operators as Darboux-dressing transformations. In this framework special links with the Airy and Burgers equations are also discussed. The matrix version of the Darboux transform is also examined leading to the non-commutative version of the Riccati equation. The non-commutative Riccati equation is solved and hence suitable conserved quantities are derived. In this context we also discuss the infinite dimensional case of the NLS matrix model as it provides a suitable candidate for a quantum version of the usual NLS model. Similarly, the non-commutitave Riccati equation for the general dressing transform is derived and it is naturally equivalent to the one emerging from the solution of the auxiliary linear problem.

研究の動機と目的

• 行列積分型またはn階の行列微分作用素を用いて、行列非線形シュレーディンガー（NLS）階層へのダーブー・ドレッシング法の一般化を図ること。
• 行列NLS型階層全体に対してラクス対を生成する再帰関係を確立すること。
• 行列NLS階層とアイルイやバーガース方程式などの他の可積分系との関係を調査すること。
• ドレッシング変換から生じる非可換リッカティ方程式を導出し、その解法を提供することで保存量の構成を可能にすること。
• 無限次元行列NLSモデルが古典的NLS理論の量子版としての候補となり得るかを検討すること。

提案手法

• 行列積分型またはn階の行列微分作用素に基づく普遍的なダーブー・ドレッシングスキームを採用すること。
• 行列ゲルファンド＝レヴィタン＝マルチェンコ方程式を解くことで、行列NLS階層の解を生成すること。
• 階層全体に対してラクス対を体系的に生成する再帰関係を導出すること。
• 行列ダーブー変換から非可換リッカティ方程式を定式化し、明示的に解くこと。
• ドレッシング変換から得られる非可換リッカティ方程式と、補助線形問題から得られるものとの等価性を確立すること。
• 無限次元の行列NLSモデルを分析し、古典的NLS理論の量子化への可能性を示唆すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行列積分型または微分作用素を用いて、どのようにダーブー・ドレッシング法を行列NLS階層に一般化できるか？
• RQ2 行列NLS型階層におけるラクス対を支配する再帰関係は何か？
• RQ3 非可換リッカティ方程式およびその解は、行列NLS系における保存量とどのように関係するか？
• RQ4 行列NLS階層とアイルイやバーガース方程式などの他の可積分系との間にどのような関係があるか？
• RQ5 無限次元行列NLSモデルは、古典的NLSモデルの量子版として妥当な候補となり得るか？

主な発見

• 普遍的なダーブー・ドレッシングスキームは、行列ゲルファンド＝レヴィタン＝マルチェンコ方程式を介して、行列NLS階層の解を効果的に生成した。
• 階層全体に対してラクス対を生成する再帰関係が同定された。
• 非可換リッカティ方程式が導出され、その解法により系内の保存量が構成された。
• ドレッシングフレームワークを通じて、行列NLS階層がアイルイ方程式およびバーガース方程式と自然に関連していることが示された。
• 無限次元行列NLSモデルは、一貫性のある非可換構造を有するため、量子NLS理論の候補として提案された。
• ドレッシング変換から得られる非可換リッカティ方程式が、補助線形問題から導かれるものと等価であることが証明された。