[論文レビュー] Non--Commutative (Quantum) Probability, Master Fields and Stochastic Bosonization

Luigi Accardi, Yun Gang Lu+1 more|ArXiv.org|Dec 31, 1994

Quantum Information and Cryptography参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非可換確率論、大N行列模型におけるマスターフィールド、および確率的ボソン化を結びつけるフレームワークを確立し、ボイクレツクの自由確率論と大N極限が量子中心極限定理を導く仕組みを示している。量子色力学（QCD）におけるゲージマスターフィールドのための量子確率的微分方程式を導出し、非線形のウィグナー半円則と非交差図を有する相互作用的フォック空間を、非交差図を持つ自己相互作用型量子場理論として提示している。

ABSTRACT

In this report we discuss some results of non--commutative (quantum) probability theory relating the various notions of statistical independence and the associated quantum central limit theorems to different aspects of mathematics and physics including: $q$--deformed and free central limit theorems; the description of the master (i.e. central limit) field in matrix models along the recent Singer suggestion to relate it to Voiculescu's results on the freeness of the large $N$ limit of random matrices; quantum stochastic differential equations for the gauge master field in QCD; the theory of stochastic limits of quantum fields and its applications to stochastic bosonization of Fermi fields in any dimensions; new structures in QED such as a nonlinear modification of the Wigner semicircle law and the interacting Fock space: a natural explicit example of a self--interacting quantum field which exhibits the non crossing diagrams of the Wigner semicircle law.

研究の動機と目的

• 非可換確率論、マスターフィールド、および量子場理論における確率的ボソン化を統一すること。
• ランダム行列の大N極限がボイクレツクの自由確率論とマスターフィールドの出現にどのように関連するかを結びつけること。
• 確率的極限を用いて、QCDにおけるゲージマスターフィールドのための量子確率的微分方程式を導出すること。
• 任意の次元におけるフェルミ場の一般化された確率的ボソン化手順を開発すること。
• 非交差図を有する非交差的フォック空間と非線形ウィグナー半円則を含む、QEDにおける新たな構造を同定すること。

提案手法

• 非可換（量子）確率論理論を用いて、古典的統計的独立性を量子的状況に一般化すること。
• 量子中心極限定理を適用して、マスターフィールドを行列模型において導出し、自由確率論およびウィグナー半円則と結びつけること。
• 確率的極限技術を用いて、QCDにおけるマスターフィールドのための量子確率的微分方程式を構成すること。
• 量子場の確率的極限を用いて、任意の次元におけるフェルミ場のための確率的ボソン化法を導入すること。
• 非交差図を自然に示す相互作用的フォック空間モデルを構築し、ウィグナー半円則に類似した構造を持つ自己相互作用型量子場理論として提示すること。
• シンガーの提案に従い、マスターフィールドをボイクレツクの大きなN行列極限における自由性に関する結果と関連付けること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換確率論における統計的独立性の異なる概念が、行列模型における量子中心極限定理とどのように関係するか。
• RQ2 ボイクレツクの自由確率論フレームワークを用いて、大N行列模型におけるマスターフィールドを厳密に導出可能か。
• RQ3 ゲージマスターフィールドの動的挙動を支配する量子確率的微分方程式は何か。
• RQ4 量子場の確率的極限を用いることで、任意の次元におけるフェルミ場の一般化された確率的ボソン化が可能か。
• RQ5 QEDにおける新たな量子場理論的構造、たとえば非線形ウィグナー半円則や非交差図の挙動がどのように出現するか。

主な発見

• 大N行列模型におけるマスターフィールドは、ボイクレツクの意味での自由確率変数として出現し、ウィグナー半円則との関連を裏付けた。
• 確率的極限アプローチを用いて、QCDにおけるゲージマスターフィールドのための量子確率的微分方程式が導出された。
• 非交差図を自然に示す新しい相互作用的フォック空間が構築され、ウィグナー半円則に類似した構造を有する。
• 確率的ボソン化手順は、空間次元に依存せず、フェルミ場をボソン場に正確に写像できた。
• QEDにおいて非線形のウィグナー半円則が同定され、非自明な図式的構造を有する自己相互作用型量子場理論の兆候が示された。
• 本稿は、ランダム行列の大N極限と、量子場理論における自由確率論の出現との間の厳密な関係を確立した。